(a) Expresse o campo de temperaturas T=240+z^2-2 x y em coordenadas esféricas.
(b) Determine o valor da densidade D=re^-r / 2(5+cos theta+sen theta cos phi) no ponto P(-2,-5,1).

Passo 1

Beleza, a questão tá em duas partes: (a) pede pra reescrever o campo de temperaturas
T(x,y,z)=240+z^2-2xy
em coordenadas esféricas. Isso é multivariada, coordenadas esféricas:
x=rsinthetacosphi, y=rsinthetasinphi, z=rcostheta
Na (b) a gente tem uma densidade
D=r,e^-r/2l(5+costheta+sinthetacosphir)
e quer achar esse valor no ponto . Vamos usar a definição de e substituir.

Passo 2

Parte (a): troca T(r,theta,phi) =240+r^2cos^2theta-2,r^2sin^2thetacdottfrac12sin2phi =240+r^2cos^2theta-r^2sin^2theta,sin2phi por esféricas.
.
.
Como , temos

Passo 3

Parte (b) – primeiro achar r=raiz(-2)^2+(-5)^2+1^2=raiz30, costheta= z r=1raiz30, sintheta=raiz1-130=raiz2930 de :
Para , e como estamos no 3º quadrante, então

Passo 4

Substituindo em
D=r,e^-r/2l(5+costheta+sinthetacosphir):
5+costheta+sinthetacosphi =5+1raiz30+raiztfrac2930l(-tfrac1raiz7,25r) approx4,8176 , logo D(P)approxraiz30,e^-raiz30/2times4,8176approx1,71


Então
Multiplicando tudo dá

Resposta

(a)
(b)

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