As superfícies que delimitam um volume são definidas por r=5 er=12, theta=20^circ e theta=80^circ, phi =0,1 pi e phi=0,4 pi. Determine: (a) o comprimento de um segmento linear que una dois vértices opostos do volume; (b) as áreas determinadas pelas superfícies em questão; © o volume determinado pelas superfícies em questão.

Passo 1

Beleza, aqui o que o exercício manda:
– O volume em coordenadas esféricas é delimitado por
r = 5, r = 12, theta = 20^circ, theta = 80^circ, phi = 0.1pi, phi = 0.4pi
Conteúdo da matéria: coordenadas esféricas, conversão pra cartesiano, distância entre pontos, cálculo de área de superfícies em esféricas e integral de volume.
O que vamos precisar:
  1. Fórmulas de conversão d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 , , .
  2. Distância entre dois pontos em :
  1. Elementos de área (dS) para cada superfície em esféricas e elemento de volume .

Passo 2

(a) Comprimento do segmento que liga os vértices opostos P1 &= (5sin20^circcos0.1pi,;5sin20^circsin0.1pi,;5cos20^circ), P2 &= (12sin80^circcos0.4pi,;12sin80^circsin0.4pi,;12cos80^circ) e d approx raiz5^2 +12^2 -2cdot5cdot12l(sin20^circsin80^circcos0.3pi + cos20^circcos80^circr) approx 11.21 .
  1. Convertemos cada ponto pra cartesiano:
  1. Plugamos na fórmula da distância. Usando valores aproximados
    e
    , achamos

Passo 3

(b) Áreas das superfícies:
  1. Superfícies esféricas Ar=a = a^2 integralphi=0.1pi^0.4pi!!! integraltheta=20^circ^80^circsintheta,dtheta,dphi = a^2,(cos20^circ-cos80^circ),(,0.4pi-0.1pi) :
    dS = A5approx 25cdot0.7660cdot0.3piapprox18.05 .
    A cada uma: A12approx144cdot0.7660cdot0.3piapprox104.03 – Para Atheta=alpha =sinalphaintegralphi=0.1pi^0.4pi!!!integralr=5^12r,dr,dphi =sinalpha,(0.3pi),12^2-5^22 : Aphi=beta =integralr=5^12!!integraltheta=20^circ^80^circrsintheta,dtheta,dr =12^2-5^22,(cos20^circ-cos80^circ) – Para :
  2. Superfícies cônicas :
    dS = . :

    :
  3. Superfícies :
    dS = . Calcula-se
    cada, total de .

Passo 4

© Volume do sólido:
V = integralr=5^12!!integraltheta=20^circ^80^circ!!integralphi=0.1pi^0.4pir^2sintheta,dphi,dtheta,dr = 12^3-5^33;(cos20^circ-cos80^circ);(0.3pi)
Calculando
Vapprox534.33cdot0.7222approx385.9 , e , dá

Resposta

(a) 11,21
(b)


(total )
©

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