As superfícies que delimitam um volume são definidas por
e
,
. Determine: (a) o comprimento de um segmento linear que una dois vértices opostos do volume; (b) as áreas determinadas pelas superfícies em questão; © o volume determinado pelas superfícies em questão.
Passo 1
Beleza, aqui o que o exercício manda:
– O volume em coordenadas esféricas é delimitado por
– O volume em coordenadas esféricas é delimitado por
Conteúdo da matéria: coordenadas esféricas, conversão pra cartesiano, distância entre pontos, cálculo de área de superfícies em esféricas e integral de volume.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Fórmulas de conversão
, , . - Distância entre dois pontos em
:
- Elementos de área (dS) para cada superfície em esféricas e elemento de volume
.
Passo 2
(a) Comprimento do segmento que liga os vértices opostos
e
.
- Convertemos cada ponto pra cartesiano:
- Plugamos na fórmula da distância. Usando valores aproximados
e
, achamos
Passo 3
(b) Áreas das superfícies:
- Superfícies esféricas
:
dS =.
A cada uma:– Para : – Para : - Superfícies cônicas
:
dS =. – :
–:
- Superfícies
:
dS =. Calcula-se
cada, total de .
Passo 4
© Volume do sólido:
Calculando
, e
, dá
Resposta
(a) 11,21
(b)
–
–
– (total
)
©
(b)
–
–
–
©