Os vetores A=4 ax+5 ay-2 az e B=2 ax+8 ay+3 az possuem suas origens coincidentes com a do sistema de coordenadas cartesianas. Determinar: (a) a distância entre suas extremidades; (b) um vetor unitário na direção de A; © um vetor C que seja paralelo ao vetor A e que possua módulo igual ao do vetor B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço 3D:

Conteúdo: geometria vetorial no espaço
O que vamos precisar:
  1. Distância entre pontos (ou extremidades de vetores) em 3D: norma do vetor diferença.
  2. Vetor unitário: dividir um vetor pela sua norma.
  3. Vetor paralelo com dado módulo: usar múltiplo escalar.

Passo 2

(a) Distância entre as extremidades de AB = (2-4),vec ax + (8-5),vec ay + (3-(-2)),vec az = -2,vec ax + 3,vec ay + 5,vec az e |AB| = raiz(-2)^2 + 3^2 + 5^2 = raiz4 + 9 + 25 = raiz38
  1. Primeiro, a extremidade de é o ponto e de é .
  2. A distância é a norma do vetor .
  3. A norma de um vetor é .

Passo 3

(b) Vetor unitário na direção de |vec A| = raiz4^2 + 5^2 + (-2)^2 = raiz16 + 25 + 4 = raiz45
  1. Primeiro, calculamos a norma de hat uA = 1raiz45,(4,vec ax + 5,vec ay - 2,vec az) :
  2. Um vetor unitário na direção de é
    .
    Então

Passo 4

© Vetor |vec B| = raiz2^2 + 8^2 + 3^2 = raiz4 + 64 + 9 = raiz77 paralelo a |k|,raiz45 = raiz77 Longrightarrow k = raiz77raiz45 = raiz7745 e com módulo igual ao de vec C = raiz7745;l(4,vec ax + 5,vec ay -2,vec azr)
  1. Se é paralelo a , então para algum escalar .
  2. Queremos . Primeiro, já sabemos
  3. Também
    Para termos , basta (a gente escolhe pra manter o mesmo sentido de ).
  4. Logo

Resposta

(a) Distância entre as extremidades: .
(b) Vetor unitário em :
.
© Vetor paralelo a com módulo de :
.

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