Q.
. A única afirmativa correta é:
(a) Se
, então
para algum
;
(b) Se
, então
existe;
(c) Se
, com
, então
;
(d) A função
não possui assíntota alguma.
(a) Falso.
é um contra-exemplo. Basta tomar
e
;
(b) Falso. Os limites laterais podem ser infinitos, assim o bilateral não existe;
(c) Falso. Basta supor
. Assim
;
(d) Verdadeiro. Como
, vemos que
não possui assíntota vertical. Agora, como o grau do numerador é maior do que do denominador, o limite no infinito, de
, será infinito (comprove!), nos dizendo que não há assíntota horizontal.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) A função
(a) Falso.
(b) Falso. Os limites laterais podem ser infinitos, assim o bilateral não existe;
(c) Falso. Basta supor
(d) Verdadeiro. Como
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre propriedades de funções e limites, e pede para identificar qual delas é a única correta. Vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário sem hipótese de continuidade, definição de limite a partir dos limites laterais (finito versus infinito), comportamento de limite em ponto isolado versus valor da função, e definição de assíntotas verticais e horizontais para função racional.
Passo 2
Analisando (a): “Se
, então
para algum
.”
Sem hipótese de continuidade essa afirmação cai. Por exemplo, considere
Sem hipótese de continuidade essa afirmação cai. Por exemplo, considere
tomando
e
.
Aqui , mas
para todo
.
Logo (a) é falsa.
Aqui
Logo (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se
, então
existe.”
Basta ter limites laterais iguais a (ou
), que não contam como limite finito. Por exemplo,
Basta ter limites laterais iguais a
tem
mas não existe limite finito em
.
Portanto (b) é falsa.
Portanto (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): “Se
Então e
, mas
Logo (c) é falsa.
Passo 5
Analisando (d): “A função
não possui assíntota alguma.”
- Assíntota vertical exige raiz real do denominador. O discriminante de
é
logo nunca zera e não há assíntota vertical.
2. Assíntota horizontal exige finito; aqui
, então
e não há assíntota horizontal.
Sob o critério que considera apenas assíntotas verticais ou horizontais, concluímos que não há nenhuma delas. Logo (d) é verdadeira.
2. Assíntota horizontal exige
Sob o critério que considera apenas assíntotas verticais ou horizontais, concluímos que não há nenhuma delas. Logo (d) é verdadeira.
Passo 6
Dentre as quatro afirmações, apenas a (d) é correta.
Resposta
(d)