Q. 6(1,0). A única afirmativa correta é:
(a) Se f(a) cdot f(b)<0, então f(c)=0 para algum c in[a, b];
(b) Se lim x 2^- f(x)=lim x 2^+ f(x), então lim x 2 f(x) existe;
(c) Se f(x)>0, forall x neq 1, com f(1)=-1, então lim x 1 f(x)=-1;
(d) A função f(x)=x^3+2 x+4x^2+2 x+4 não possui assíntota alguma.
(a) Falso. f(x)=1 / x é um contra-exemplo. Basta tomar a=-1 e b=1;
(b) Falso. Os limites laterais podem ser infinitos, assim o bilateral não existe;
(c) Falso. Basta supor f(x)=x^2+1, forall x neq 1. Assim lim x 1 f(x)=1^2+1=2;
(d) Verdadeiro. Como x^2+2 x+4=x^2+2 x+1+3=(x+1)^2+3 neq 0, forall x in R, vemos que f não possui assíntota vertical. Agora, como o grau do numerador é maior do que do denominador, o limite no infinito, de f(x), será infinito (comprove!), nos dizendo que não há assíntota horizontal.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre propriedades de funções e limites, e pede para identificar qual delas é a única correta. Vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário sem hipótese de continuidade, definição de limite a partir dos limites laterais (finito versus infinito), comportamento de limite em ponto isolado versus valor da função, e definição de assíntotas verticais e horizontais para função racional.

Passo 2

Analisando (a): “Se f(a)cdot f(b)<0, então f(c)=0 para algum cin[a,b].”
Sem hipótese de continuidade essa afirmação cai. Por exemplo, considere
f(x)=1x,
tomando a=-1 e b=1.
Aqui f(a)cdot f(b)=(-1)cdot1<0, mas f(x)neq0 para todo xin[-1,1].
Logo (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x), então limxto2f(x) existe.”
Basta ter limites laterais iguais a +infty (ou -infty), que não contam como limite finito. Por exemplo,
f(x)=1(x-2)^2
tem limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)=+infty mas não existe limite finito em x=2.
Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “Se
Então e , mas
.
Logo (c) é falsa.

Passo 5

Analisando (d): “A função f(x)=x^3+2x+4x^2+2x+4 não possui assíntota alguma.”
  1. Assíntota vertical exige raiz real do denominador. O discriminante de x^2+2x+4 é
De<a=2^2-4cdot1cdot4=4-16=-12<0,
logo nunca zera e não há assíntota vertical.
2. Assíntota horizontal exige limxtopminftyf(x) finito; aqui deg(num)=3>deg(den)=2, então
limxtopminftyf(x)=pminfty e não há assíntota horizontal.
Sob o critério que considera apenas assíntotas verticais ou horizontais, concluímos que não há nenhuma delas. Logo (d) é verdadeira.

Passo 6

Dentre as quatro afirmações, apenas a (d) é correta.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados