Expresse em coordenadas polares as equações a seguir:
(c) (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2;

Passo 1

O enunciado dá a equação do círculo
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2
e pede que a expressemos em coordenadas polares. Informações úteis que temos do enunciado:
  • A equação representa um círculo de centro (1,1) e raio \sqrt{2}.
  • A tarefa é reescrever essa mesma curva usando as variáveis polares \,r e \theta.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que são coordenadas polares e como passar de cartesianas para polares:
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • As relações de conversão são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r\in\mathbb{R} normalmente com r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R} (ângulo em radianos). Vamos usar essas relações para substituir x e y na equação do círculo.

Passo 3

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na equação do círculo, obtemos
\bigl(r\cos\theta-1\bigr)^{2}+\bigl(r\sin\theta-1\bigr)^{2}=2.

Passo 4

Agora expandimos os quadrados e simplificamos passo a passo.
Primeiro, expandindo cada termo:
\bigl(r\cos\theta-1\bigr)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta-2r\cos\theta+1,
\bigl(r\sin\theta-1\bigr)^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta-2r\sin\theta+1.
Somando as duas expressões:
r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta-2r(\cos\theta+\sin\theta)+1+1=2.
Usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 para combinar os termos com r^{2}:
r^{2}-2r(\cos\theta+\sin\theta)+2=2.

Passo 5

Subtraindo 2 dos dois lados, queda-se com uma expressão simples:
r^{2}-2r(\cos\theta+\sin\theta)=0.
Fatorando r:
r\bigl(r-2(\cos\theta+\sin\theta)\bigr)=0.
Isso dá as soluções polares da curva: r=0 (o ponto origem) ou
r=2\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr).
Observação intuitiva: o círculo realmente passa pela origem porque a distância do centro (1,1) à origem é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}, igual ao raio.

Passo 6

Podemos apresentar uma forma trigonométrica mais compacta. Usando a identidade
\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right),
obtém-se uma forma alternativa:
r=2\sqrt{2}\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right).
Comentário sobre o sinal: a equação r=2(\cos\theta+\sin\theta) descreve a curva inteira; se for preciso restringir a representação para r\ge 0 então requeremos \cos\theta+\sin\theta\ge 0, isto é \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\right] (mod 2\pi). Valores de \theta fora desse intervalo geram r<0, o que representa os mesmos pontos com a convenção polar (r,\theta)\sim(-r,\theta+\pi).

Resposta

r=2\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)
\text{ou alternativamente}\quad r=2\sqrt{2}\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)

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