Expresse em coordenadas polares as equações a seguir:
(c)
;
(c)
Passo 1
O enunciado dá a equação do círculo
e pede que a expressemos em coordenadas polares. Informações úteis que temos do enunciado:
- A equação representa um círculo de centro
e raio . - A tarefa é reescrever essa mesma curva usando as variáveis polares
e .
Passo 2
Primeiro, lembrar o que são coordenadas polares e como passar de cartesianas para polares:
- Em coordenadas polares, um ponto é dado por
, onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - As relações de conversão são
Aqui
normalmente com
e
(ângulo em radianos). Vamos usar essas relações para substituir
e
na equação do círculo.
Passo 3
Substituindo
e
na equação do círculo, obtemos
Passo 4
Agora expandimos os quadrados e simplificamos passo a passo.
Primeiro, expandindo cada termo:
Primeiro, expandindo cada termo:
Somando as duas expressões:
Usamos a identidade trigonométrica
para combinar os termos com
:
Passo 5
Subtraindo
dos dois lados, queda-se com uma expressão simples:
Fatorando
:
Isso dá as soluções polares da curva:
(o ponto origem) ou
Observação intuitiva: o círculo realmente passa pela origem porque a distância do centro
à origem é
, igual ao raio.
Passo 6
Podemos apresentar uma forma trigonométrica mais compacta. Usando a identidade
obtém-se uma forma alternativa:
Comentário sobre o sinal: a equação
descreve a curva inteira; se for preciso restringir a representação para
então requeremos
, isto é
(mod
). Valores de
fora desse intervalo geram
, o que representa os mesmos pontos com a convenção polar
.