Expresse em coordenadas retangulares as equações polares dadas:
r=1-\cos 2 \theta

Passo 1

O enunciado pede: expressar em coordenadas retangulares (isto é, em x e y) a curva dada em coordenadas polares pela equação
r = 1 - \cos 2\theta.
Informações dadas:
\text{a equação polar } r = 1 - \cos 2\theta.çã
Objetivo: obter uma relação entre x e y equivalente a essa equação polar.

Passo 2

Lembrando as relações entre coordenadas polares e retangulares: para um ponto qualquer,
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2 + y^2.
Explicando: r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo; portanto \cos\theta e \sin\theta são as projeções normalizadas, e podemos escrever
\cos\theta = \frac{x}{r},\qquad \sin\theta = \frac{y}{r},
desde que r\neq0. Essas fórmulas nos permitem transformar expressões envolvendo \theta em expressões em x e y.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica para o cosseno do dobro do ângulo:
\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta.
Substituindo \cos\theta = x/r e \sin\theta = y/r, obtemos
\cos 2\theta = \left(\frac{x}{r}\right)^{2} - \left(\frac{y}{r}\right)^{2} = \frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.
Isso é uma forma direta de escrever \cos 2\theta em termos de x,y e r.

Passo 4

Agora substituímos \cos 2\theta na equação dada r = 1 - \cos 2\theta:
r = 1 - \frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} (lembrando que r\ge0 em coordenadas polares) temos
r^{3} = r^{2} - (x^{2}-y^{2}).

Passo 5

Substituímos r^{2}=x^{2}+y^{2} no lado direito:
r^{3} = (x^{2}+y^{2}) - (x^{2}-y^{2}) = 2y^{2}.
Portanto chegamos à relação
r^{3} = 2y^{2}.

Passo 6

Escrevendo r em função de x e y ( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), obtemos
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2} = 2y^{2}.
Se quisermos uma forma polinomial (eliminando a raiz), elevamos ambos os lados ao quadrado. Como ambos os lados são não-negativos, isso não cria soluções extranhas:
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3} = 4y^{4}.
Essas duas formas são equivalentes e representam a mesma curva em coordenadas retangulares.

Passo 7

Verificação rápida com alguns ângulos para ganhar confiança:
  • Se \theta=0 então \cos 2\theta=1 e r=0 (origem). Na forma final: x=0,y=0 satisfaz (x^{2}+y^{2})^{3/2}=0=2y^{2}.
  • Se \theta=\pi/2 então \cos 2\theta=-1 e r=2. Então (x,y)=(0,2) e (0^{2}+2^{2})^{3/2}=4^{3/2}=8=2\cdot 2^{2}. OK.
    Esses testes mostram coerência entre a equação polar e a forma retangular obtida.

Resposta

\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}=2y^{2}
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3}=4y^{4}

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