Expresse em coordenadas retangulares as equações polares dadas:
Passo 1
O enunciado pede: expressar em coordenadas retangulares (isto é, em
e
) a curva dada em coordenadas polares pela equação
Informações dadas:
Objetivo: obter uma relação entre
e
equivalente a essa equação polar.
Passo 2
Lembrando as relações entre coordenadas polares e retangulares: para um ponto qualquer,
Explicando:
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo; portanto
e
são as projeções normalizadas, e podemos escrever
desde que
. Essas fórmulas nos permitem transformar expressões envolvendo
em expressões em
e
.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica para o cosseno do dobro do ângulo:
Substituindo
e
, obtemos
Isso é uma forma direta de escrever
em termos de
e
.
Passo 4
Agora substituímos
na equação dada
:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
em coordenadas polares) temos
Passo 5
Substituímos
no lado direito:
Portanto chegamos à relação
Passo 6
Escrevendo
em função de
e
(
), obtemos
Se quisermos uma forma polinomial (eliminando a raiz), elevamos ambos os lados ao quadrado. Como ambos os lados são não-negativos, isso não cria soluções extranhas:
Essas duas formas são equivalentes e representam a mesma curva em coordenadas retangulares.
Passo 7
Verificação rápida com alguns ângulos para ganhar confiança:
- Se
então e (origem). Na forma final: satisfaz . - Se
então e . Então e . OK.
Esses testes mostram coerência entre a equação polar e a forma retangular obtida.