Expreesse em coordenadas polares as equações retangulares dadas:
Passo 1
O enunciado pede: expor a equação retangular
em coordenadas polares.
Informações dadas: a equação cartesiana é .
O que se quer: uma fórmula que relacione e
(variáveis polares) equivalente a essa parábola.
Informações dadas: a equação cartesiana é
O que se quer: uma fórmula que relacione
Passo 2
Recordando a relação entre coordenadas cartesianas
e polares
:
Aqui
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Vou usar essas relações para substituir
e
na equação dada.
Passo 3
Substituo
e
na equação
:
Expliquei: no lado esquerdo coloquei
e no direito
.
Passo 4
Simplifico a equação. Primeiro escrevo o lado direito expandido:
Agora trato o caso
separadamente:
corresponde ao ponto origem, que pertence à parábola porque para
temos
. Para os pontos com
posso dividir os dois lados por
, obtendo:
Passo 5
Isolo
na expressão anterior (para
):
Essa é a forma básica. Posso escrever de forma equivalente usando identidades trigonométricas:
. Logo
Passo 6
Discussão sobre domínio e sinais (coisa importante para prova): a divisão por
exige
, ou seja
para inteiro
. O caso
(origem) já foi mencionado; a fórmula dá os outros pontos da parábola. Note que
pode sair negativo para certos
— em coordenadas polares isso representa o mesmo ponto com
trocado por
, mas na prática ao usar a forma
é comum restringir
para obter
.
Passo 7
Exemplo rápido para checar: para
temos
Convertendo para cartesiano:
e
, que satisfaz
. Ótimo: fórmula funciona.