Expreesse em coordenadas polares as equações retangulares dadas:
y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: expor a equação retangular y=x^{2} em coordenadas polares.
Informações dadas: a equação cartesiana é \,y=x^{2}\,.
O que se quer: uma fórmula que relacione r e \theta (variáveis polares) equivalente a essa parábola.

Passo 2

Recordando a relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta):
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Aqui \,r\ge 0\, é a distância ao origem e \,\theta\, é o ângulo medido a partir do eixo x. Vou usar essas relações para substituir x e y na equação dada.

Passo 3

Substituo x e y na equação \,y=x^{2}\,:
r\sin\theta = (r\cos\theta)^{2}.
Expliquei: no lado esquerdo coloquei y=r\sin\theta e no direito x^{2}=(r\cos\theta)^{2}.

Passo 4

Simplifico a equação. Primeiro escrevo o lado direito expandido:
r\sin\theta = r^{2}\cos^{2}\theta.
Agora trato o caso r=0 separadamente: \,r=0\, corresponde ao ponto origem, que pertence à parábola porque para x=0 temos y=0. Para os pontos com r\neq 0 posso dividir os dois lados por r, obtendo:
\sin\theta = r\cos^{2}\theta.

Passo 5

Isolo r na expressão anterior (para r\neq 0):
r = \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.
Essa é a forma básica. Posso escrever de forma equivalente usando identidades trigonométricas: \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{1}{\cos\theta} = \tan\theta\operatorname{sec}\theta. Logo
r = \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} = \tan\theta\operatorname{sec}\theta.

Passo 6

Discussão sobre domínio e sinais (coisa importante para prova): a divisão por \cos^{2}\theta exige \cos\theta\neq 0, ou seja \theta \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi para inteiro k. O caso r=0 (origem) já foi mencionado; a fórmula dá os outros pontos da parábola. Note que r pode sair negativo para certos \theta — em coordenadas polares isso representa o mesmo ponto com \theta trocado por \theta+\pi, mas na prática ao usar a forma \,r=\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}\, é comum restringir \theta para obter r\ge 0.

Passo 7

Exemplo rápido para checar: para \theta=\tfrac{\pi}{4} temos
r=\frac{\sin(\pi/4)}{\cos^{2}(\pi/4)}=\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)^{2}}=\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{2}.
Convertendo para cartesiano: x=r\cos\theta=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1 e y=r\sin\theta=1, que satisfaz y=x^{2}. Ótimo: fórmula funciona.

Resposta

r=\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} = \tan\theta\operatorname{sec}\theta,\quad \cos\theta\neq 0

Exercícios relacionados