Expresse
e
em potências de
e
usando a fórmula de De Moivre.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se expressar
e em potências de e , usando a fórmula de De Moivre. - Informações relevantes: o ângulo é
(variável qualquer) e o expoente é . Não há mais dados numéricos.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal (fórmula de De Moivre) e a ferramenta auxiliar (teorema do binómio), explicando o que cada símbolo significa:
- Fórmula de De Moivre: para todo inteiro
,
Aqui
é o ângulo,
é a unidade imaginária (
) e
é o inteiro (aqui
). Essa fórmula diz que elevando o número complexo
à potência
obtém-se a parte real igual a
e a parte imaginária igual a
.
- Teorema do binómio (caso
): para quaisquer e ,
onde
são os coeficientes binomiais:
para
.
Vamos aplicar essas duas ideias com
e
.
Passo 3
Expandindo
pelo binómio:
Escrevendo termo a termo (usando os coeficientes
):
Agora usamos as potências de
:
,
,
,
,
,
. Substituindo essas potências:
Passo 4
Separando parte real e parte imaginária da expressão acima para identificar
(parte real) e
(parte imaginária):
- Parte real (coeficientes sem
):
Logo
- Parte imaginária (coletando o fator
):
Logo
Essas duas fórmulas já expressam
e
em potências de
e
, com termos mistos.
Passo 5
Se desejar expressar cada identidade somente em potências de
(sem
) ou somente em potências de
(sem
), usamos a identidade pitagórica
e suas consequências
, e também
,
.
Vou converter
para uma expressão apenas em
. Começo da fórmula mista:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora converto
para uma expressão apenas em
. Parto da fórmula mista:
Substituo
e
: