Expresse \cos 5 \theta e \operatorname{sen} 5 \theta em potências de \cos \theta e \operatorname{sen} \theta usando a fórmula de De Moivre.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se expressar \cos 5\theta e \operatorname{sen} 5\theta em potências de \cos\theta e \operatorname{sen}\theta, usando a fórmula de De Moivre.
  • Informações relevantes: o ângulo é \theta (variável qualquer) e o expoente é 5. Não há mais dados numéricos.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal (fórmula de De Moivre) e a ferramenta auxiliar (teorema do binómio), explicando o que cada símbolo significa:
  • Fórmula de De Moivre: para todo inteiro n,
\bigl(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta\bigr)^n = \cos(n\theta) + i\,\operatorname{sen}(n\theta).
Aqui \theta é o ângulo, i é a unidade imaginária ( i^2=-1) e n é o inteiro (aqui n=5). Essa fórmula diz que elevando o número complexo \cos\theta+i\operatorname{sen}\theta à potência n obtém-se a parte real igual a \cos(n\theta) e a parte imaginária igual a \operatorname{sen}(n\theta).
  • Teorema do binómio (caso n=5): para quaisquer a e b,
(a+b)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} a^{5-k} b^k,
onde \binom{5}{k} são os coeficientes binomiais: 1,5,10,10,5,1 para k=0,\dots,5.
Vamos aplicar essas duas ideias com a=\cos\theta e b=i\,\operatorname{sen}\theta.

Passo 3

Expandindo \bigl(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta\bigr)^5 pelo binómio:
\bigl(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta\bigr)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \cos^{\,5-k}\theta\,(i\,\operatorname{sen}\theta)^k.
Escrevendo termo a termo (usando os coeficientes 1,5,10,10,5,1):
\begin{aligned} &\cos^{5}\theta \\\ &\quad+ 5\cos^{4}\theta\,(i\operatorname{sen}\theta) \\\ &\quad+ 10\cos^{3}\theta\,(i\operatorname{sen}\theta)^2 \\\ &\quad+ 10\cos^{2}\theta\,(i\operatorname{sen}\theta)^3 \\\ &\quad+ 5\cos\theta\,(i\operatorname{sen}\theta)^4 \\\ &\quad+ (i\operatorname{sen}\theta)^5. \end{aligned}
Agora usamos as potências de i: i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i. Substituindo essas potências:
\begin{aligned} &\cos^{5}\theta \\\ &\quad+ 5i\cos^{4}\theta\,\operatorname{sen}\theta \\\ &\quad-10\cos^{3}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta \\\ &\quad-10i\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{3}\theta \\\ &\quad+5\cos\theta\,\operatorname{sen}^{4}\theta \\\ &\quad+ i\operatorname{sen}^{5}\theta. \end{aligned}

Passo 4

Separando parte real e parte imaginária da expressão acima para identificar \cos 5\theta (parte real) e \operatorname{sen}5\theta (parte imaginária):
  • Parte real (coeficientes sem i):
\cos^{5}\theta - 10\cos^{3}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta + 5\cos\theta\,\operatorname{sen}^{4}\theta.
Logo
\cos 5\theta = \cos^{5}\theta - 10\cos^{3}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta + 5\cos\theta\,\operatorname{sen}^{4}\theta.
  • Parte imaginária (coletando o fator i):
i\bigl(5\cos^{4}\theta\,\operatorname{sen}\theta - 10\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{3}\theta + \operatorname{sen}^{5}\theta\bigr).
Logo
\operatorname{sen}5\theta = 5\cos^{4}\theta\,\operatorname{sen}\theta - 10\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{3}\theta + \operatorname{sen}^{5}\theta.
Essas duas fórmulas já expressam \cos5\theta e \operatorname{sen}5\theta em potências de \cos\theta e \operatorname{sen}\theta, com termos mistos.

Passo 5

Se desejar expressar cada identidade somente em potências de \cos\theta (sem \operatorname{sen}) ou somente em potências de \operatorname{sen}\theta (sem \cos), usamos a identidade pitagórica
\operatorname{sen}^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta
e suas consequências \operatorname{sen}^{4}\theta = (1-\cos^{2}\theta)^2, e também \cos^{2}\theta = 1-\operatorname{sen}^{2}\theta, \cos^{4}\theta=(1-\operatorname{sen}^{2}\theta)^2.
Vou converter \cos 5\theta para uma expressão apenas em \cos\theta. Começo da fórmula mista:
\cos 5\theta = \cos^{5}\theta - 10\cos^{3}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta + 5\cos\theta\,\operatorname{sen}^{4}\theta.
Substituindo \operatorname{sen}^{2}\theta = 1-\cos^{2}\theta e \operatorname{sen}^{4}\theta = (1-\cos^{2}\theta)^2:
\begin{aligned} \cos 5\theta &= \cos^{5}\theta - 10\cos^{3}\theta(1-\cos^{2}\theta) + 5\cos\theta(1-\cos^{2}\theta)^2 \\\ &= \cos^{5}\theta -10\cos^{3}\theta +10\cos^{5}\theta + 5\cos\theta\bigl(1 - 2\cos^{2}\theta + \cos^{4}\theta\bigr) \\\ &= (\cos^{5}\theta+10\cos^{5}\theta +5\cos^{5}\theta) + (-10\cos^{3}\theta -10\cos^{3}\theta) + 5\cos\theta \\\ &= 16\cos^{5}\theta -20\cos^{3}\theta +5\cos\theta. \end{aligned}

Passo 6

Agora converto \operatorname{sen}5\theta para uma expressão apenas em \operatorname{sen}\theta. Parto da fórmula mista:
\operatorname{sen}5\theta = 5\cos^{4}\theta\,\operatorname{sen}\theta - 10\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{3}\theta + \operatorname{sen}^{5}\theta.
Substituo \cos^{2}\theta = 1-\operatorname{sen}^{2}\theta e \cos^{4}\theta = (1-\operatorname{sen}^{2}\theta)^2:
\begin{aligned} \operatorname{sen}5\theta &= 5(1-\operatorname{sen}^{2}\theta)^2\operatorname{sen}\theta - 10(1-\operatorname{sen}^{2}\theta)\operatorname{sen}^{3}\theta + \operatorname{sen}^{5}\theta \\\ &= 5\bigl(1 - 2\operatorname{sen}^{2}\theta + \operatorname{sen}^{4}\theta\bigr)\operatorname{sen}\theta -10\bigl(\operatorname{sen}^{3}\theta - \operatorname{sen}^{5}\theta\bigr) + \operatorname{sen}^{5}\theta \\\ &= 5\operatorname{sen}\theta -10\operatorname{sen}^{3}\theta +5\operatorname{sen}^{5}\theta -10\operatorname{sen}^{3}\theta +10\operatorname{sen}^{5}\theta + \operatorname{sen}^{5}\theta \\\ &= 5\operatorname{sen}\theta -20\operatorname{sen}^{3}\theta +16\operatorname{sen}^{5}\theta \\\ &= 16\operatorname{sen}^{5}\theta -20\operatorname{sen}^{3}\theta +5\operatorname{sen}\theta. \end{aligned}

Resposta

\cos 5\theta = \cos^{5}\theta - 10\cos^{3}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta + 5\cos\theta\,\operatorname{sen}^{4}\theta = 16\cos^{5}\theta - 20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta\n
\operatorname{sen}5\theta = 5\cos^{4}\theta\,\operatorname{sen}\theta - 10\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{3}\theta + \operatorname{sen}^{5}\theta = 16\operatorname{sen}^{5}\theta - 20\operatorname{sen}^{3}\theta + 5\operatorname{sen}\theta

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