Expresse d yd x em termos de x e de y, onde y=f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
2 y+sin y=x

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
2y + sin y = x,
onde y = f(x) é diferenciável. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, que nos permite encontrar dydx mesmo sem isolar y explicitamente.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. No lado esquerdo, temos duas parcelas em função de y: 2y e sin y. Aplicamos a regra da cadeia sempre que diferenciamos algo em y. Assim,
ddxl(2yr) = 2,dydx,
ddxl(sin yr) = cos y,dydx
O lado direito é simplesmente
ddx(x) = 1

Passo 3

Somando as derivadas do lado esquerdo e igualando a 1, obtemos
2,dydx + cos y,dydx = 1
Fatorando dydx, vem
l(2 + cos yr),dydx = 1

Passo 4

Isolamos dydx dividindo ambos os lados por 2 + cos y:
dydx = 12 + cos y

Resposta

dydx = 12 + cos y

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