Expresse d yd x em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
x y+y^3=x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de derivadas implícitas. A equação que temos é x y + y^3 = x. O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, d yd x, enquanto expressamos tudo em termos de x e y. Então, o que vamos usar aqui é a regra da derivação de funções implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Quando derivo um produto ou uma função que depende de y, eu preciso usar a regra do produto e lembrar que y é uma função de x, então a derivada de y em relação a x vai aparecer. Vamos lá:
A derivada do lado esquerdo x y + y^3:
  • Para x y, usando a regra do produto:
    $ \frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx} $.
  • Para ddx(xy) = y + xdydx , aplicamos a regra da cadeia:
    $ \frac{d}{dx}(y^3) = 3y^{2}\frac{dy}{dx} $.
Então, a derivada do lado esquerdo fica: $ y + x\frac{dy}{dx} + 3y^{2}\frac{dy}{dx} $.
Agora, a derivada do lado direito que é y^3: $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $.
Agora juntando tudo, temos:
ddx(y^3) = 3y^2dydx

Passo 3

Agora precisamos isolar dydx. Vamos juntar os termos que têm dydx. Temos:
xdydx + 3y^2dydx = 1 - y
Podemos fatorar dydx:
dydx(x + 3y^2) = 1 - y
Agora, para isolar dydx, é só dividir pelo que está multiplicando:
dydx = 1 - yx + 3y^2
Essa é a expressão que queríamos.

Resposta

Assim, a derivada d yd x em termos de x e y é dada por:
dydx = 1 - yx + 3y^2

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