Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(x+1)^x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y=(x+1)^x. O assunto aqui é derivadas, que são uma parte importante do cálculo, usadas para encontrar a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e a regra da cadeia.

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Então, vamos ter:
ln(y) = ln((x+1)^x)
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a), podemos simplificar a equação:
ln(y) = x cdot ln(x+1)

Passo 3

Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a x. Aqui, vamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo e a regra do produto do lado direito. Lembrando que, se temos y, a derivada de ln(y) em relação a x é:
1y cdot dydx
Então, derivando a equação que temos:
1y cdot dydx = ddx(x cdot ln(x+1))
Agora, vamos derivar o lado direito usando a regra do produto:
ddx(x cdot ln(x+1)) = 1 cdot ln(x+1) + x cdot 1x+1
Aqui, a segunda parte usa a regra da cadeia, onde a derivada de ln(x+1) é 1x+1.
Assim, nossa derivada fica:
1y cdot dydx = ln(x+1) + xx+1

Passo 4

Agora, para encontrar dydx, vamos multiplicar ambos os lados por y:
dydx = y (ln(x+1) + xx+1)
Mas, lembra que y = (x+1)^x? Então, substituímos isso de volta na equação:
dydx = (x+1)^x (ln(x+1) + xx+1)

Resposta

Então, a derivada de y em relação a x é:
dydx = (x+1)^x (ln(x+1) + xx+1)

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