Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
. A matéria em questão aqui é a derivação logarítmica, que é uma técnica usada para derivar funções que são complicadas, especialmente quando temos variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver, precisamos aplicar o logaritmo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos tirar o logaritmo natural (o ln) de ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a simplificar a função. Assim, ficamos com:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos reescrever nosso logaritmo como:
Passo 3
Agora, é hora de derivar ambos os lados da equação em relação a
. Aqui vamos usar a regra da cadeia para a esquerda e a regra do produto para a direita. A derivada do lado esquerdo é:
Para o lado direito, precisamos aplicar a regra do produto, que diz que se temos duas funções multiplicadas, a derivada é a primeira multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela derivada da primeira. Então, temos:
A derivada de
é
multiplicada pela derivada de
, que é
.
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas que encontramos:
Para encontrar
, precisamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Por último, vamos substituir
de volta na nossa equação. Lembre que
, então substituindo:
Resposta
A derivada da função dada é: