Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(1+e^x)^x^2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função y=(1+e^x)^x^2. A matéria em questão aqui é a derivação logarítmica, que é uma técnica usada para derivar funções que são complicadas, especialmente quando temos variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver, precisamos aplicar o logaritmo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tirar o logaritmo natural (o ln) de ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a simplificar a função. Assim, ficamos com:
ln(y) = ln((1+e^x)^x^2)
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a), podemos reescrever nosso logaritmo como:
ln(y) = x^2 cdot ln(1+e^x)

Passo 3

Agora, é hora de derivar ambos os lados da equação em relação a x. Aqui vamos usar a regra da cadeia para a esquerda e a regra do produto para a direita. A derivada do lado esquerdo é:
1y cdot d yd x
Para o lado direito, precisamos aplicar a regra do produto, que diz que se temos duas funções multiplicadas, a derivada é a primeira multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela derivada da primeira. Então, temos:
ddx(x^2 cdot ln(1+e^x)) = 2x cdot ln(1+e^x) + x^2 cdot 11+e^x cdot e^x
A derivada de ln(1+e^x) é 11+e^x multiplicada pela derivada de 1+e^x, que é e^x.

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas que encontramos:
1y cdot d yd x = 2x cdot ln(1+e^x) + x^2 cdot e^x1+e^x
Para encontrar d yd x, precisamos multiplicar ambos os lados da equação por y:
d yd x = y cdot (2x cdot ln(1+e^x) + x^2 cdot e^x1+e^x)

Passo 5

Por último, vamos substituir y de volta na nossa equação. Lembre que y = (1 + e^x)^x^2, então substituindo:
d yd x = (1 + e^x)^x^2 cdot (2x cdot ln(1+e^x) + x^2 cdot e^x1+e^x)

Resposta

A derivada da função dada é:
d yd x = (1 + e^x)^x^2 cdot (2x cdot ln(1+e^x) + x^2 cdot e^x1+e^x)

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