Encontre a forma fechada para a série abaixo e estude seu comportamento
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a forma fechada de uma série e estudar como ela se comporta. A série é:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e soma de séries infinitas. Vamos precisar identificar o padrão da série e aplicar as fórmulas apropriadas para somar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série. Vamos reescrever os termos para identificar o padrão:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
- Quinto termo:
- E assim por diante.
Percebemos que o numerador segue o padrão
, onde
começa em 1, e o denominador é
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a série de forma geral. Fora o primeiro termo, os demais termos podem ser representados pela soma infinita:
Podemos separar essa soma em duas partes:
Passo 4
Vamos resolver cada soma separadamente usando a fórmula da série geométrica:
Para uma série geométrica de razão
com
, a soma é:
Primeira soma:
Segunda soma:
Passo 5
Agora, somamos todas as partes:
Ou, escrevendo como fração:
Resposta
A forma fechada da série é
e a série converge para esse valor.