Encontre a forma fechada para a série abaixo e estude seu comportamento
5+2+53+4+59+8+527+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a forma fechada de uma série e estudar como ela se comporta. A série é:
5 + 2+53 + 4+59 + 8+527 + ldots
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e soma de séries infinitas. Vamos precisar identificar o padrão da série e aplicar as fórmulas apropriadas para somar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. Vamos reescrever os termos para identificar o padrão:
  • Primeiro termo: 5
  • Segundo termo: 2 + 53 = 73
  • Terceiro termo: 4 + 59 = 99 = 1
  • Quarto termo: 8 + 527 = 1327
  • Quinto termo: 16 + 581 = 2181 = 727
  • E assim por diante.
Percebemos que o numerador segue o padrão 2^n + 5, onde n começa em 1, e o denominador é 3^n.

Passo 3

Agora, vamos expressar a série de forma geral. Fora o primeiro termo, os demais termos podem ser representados pela soma infinita:
sumn=1^infty 2^n + 53^n
Podemos separar essa soma em duas partes:
sumn=1^infty 2^n3^n + sumn=1^infty 53^n

Passo 4

Vamos resolver cada soma separadamente usando a fórmula da série geométrica:
Para uma série geométrica de razão r com |r| < 1, a soma é:
sumn=1^infty ar^n = ar1 - r
Primeira soma:
sumn=1^infty (23)^n = 231 - 23 = 2313 = 2
Segunda soma:
sumn=1^infty 5 (13)^n = 5 times 131 - 13 = 5 times 1323 = 5 times 12 = 52

Passo 5

Agora, somamos todas as partes:
5 + 2 + 52 = 5 + 2 + 2.5 = 9.5
Ou, escrevendo como fração:
9.5 = 192

Resposta

A forma fechada da série é 192 e a série converge para esse valor.

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