Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação . O que queremos fazer é transformar essa equação em forma polar de uma cônica. Para isso, a gente vai precisar conhecer as diferentes formas das cônicas em coordenadas polares e entender conceitos como excentricidade e reta diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o reconhecimento da cônica. Temos:
Passo 3
Vamos agrupar os termos de :
Passo 4
Para completar o quadrado, dividimos os termos de por 6:
Agora, completamos o quadrado adicionando e subtraindo :
Passo 5
Simplificando, temos:
Multiplicando tudo por 48 para eliminar os denominadores:
Passo 6
Dividindo toda a equação por 35 para deixá-la na forma padrão de uma elipse:
Passo 7
Agora que temos a equação na forma padrão da elipse, podemos identificar os valores de e :
Passo 8
A excentricidade de uma elipse é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 9
A equação da reta diretriz para uma elipse na forma polar é dada por: