Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
x^2+6 y^2-3 y=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação x^2 + 6 y^2 - 3 y = 4. O que queremos fazer é transformar essa equação em forma polar de uma cônica. Para isso, a gente vai precisar conhecer as diferentes formas das cônicas em coordenadas polares e entender conceitos como excentricidade e reta diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o reconhecimento da cônica. Temos:
x^2 + 6 y^2 - 3 y = 4

Passo 3

Vamos agrupar os termos de y:
6 y^2 - 3 y = 4 - x^2

Passo 4

Para completar o quadrado, dividimos os termos de y por 6:
y^2 - 12 y = 4 - x^26
Agora, completamos o quadrado adicionando e subtraindo (14)^2:
y^2 - 12 y + (14)^2 = 4 - x^26 + 116

Passo 5

Simplificando, temos:
(y - 14)^2 = 4 - x^26 + 116
Multiplicando tudo por 48 para eliminar os denominadores:
48(y - 14)^2 = 8(4 - x^2) + 3
48(y - 14)^2 = 32 - 8x^2 + 3
48(y - 14)^2 + 8x^2 = 35

Passo 6

Dividindo toda a equação por 35 para deixá-la na forma padrão de uma elipse:
x^2358 + (y - 14)^23548 = 1

Passo 7

Agora que temos a equação na forma padrão da elipse, podemos identificar os valores de a e b:
a^2 = 358 e b^2 = 3548

Passo 8

A excentricidade e de uma elipse é dada por:
e = raiz1 - b^2a^2
Substituindo os valores:
e = raiz1 - 3548358 = raiz1 - 16 = raiz56 approx 0,9129

Passo 9

A equação da reta diretriz para uma elipse na forma polar é dada por:
y = ae
Calculando:
y = raiz358raiz56 = raiz358 cdot raiz6raiz5 = raiz21040raiz5 = raiz214raiz5 = raiz212raiz5 = raiz10510

Resposta

A equação polar da cônica é uma elipse com excentricidade aproximadamente e = 0,9129 e a equação da reta diretriz é y = raiz10510.

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