Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é pegar a equação
e transformar ela na forma polar de uma cônica. Depois, identificar que tipo de cônica é, descobrir a excentricidade dela e achar a equação da reta diretriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre cônicas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação da cônica. A equação é
. Vamos isolAR y:
Passo 3
Observando a equação
, vemos que é uma parábola, porque é uma equação de segundo grau com apenas o termo
. A parábola está aberta para baixo devido ao coeficiente negativo de
.
Passo 4
Agora, vamos expressar essa parábola na forma polar. A forma polar geral de uma parábola com foco na origem é:
Mas como nossa parábola está orientada verticalmente, vamos ajustar a forma. Podemos usar a forma:
Onde
é a distância do vértice ao foco. Comparando com a nossa equação
, identificamos que
, então:
Passo 5
A excentricidade
de uma parábola é sempre 1. Isso é uma característica das parábolas, independente de sua orientação ou posição.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta diretriz. Para uma parábola na forma
, a diretriz é dada por:
Substituindo
:
Resposta
A equação polar da cônica é uma parábola com excentricidade
e a equação da reta diretriz é
.