Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
3 x^2+2 y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é pegar a equação 3x^2 + 2y - 1 = 0 e transformar ela na forma polar de uma cônica. Depois, identificar que tipo de cônica é, descobrir a excentricidade dela e achar a equação da reta diretriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre cônicas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação da cônica. A equação é 3x^2 + 2y - 1 = 0. Vamos isolAR y:
2y = -3x^2 + 1 implies y = -32x^2 + 12

Passo 3

Observando a equação y = -32x^2 + 12, vemos que é uma parábola, porque é uma equação de segundo grau com apenas o termo x^2. A parábola está aberta para baixo devido ao coeficiente negativo de x^2.

Passo 4

Agora, vamos expressar essa parábola na forma polar. A forma polar geral de uma parábola com foco na origem é:
r = ep1 + ecostheta
Mas como nossa parábola está orientada verticalmente, vamos ajustar a forma. Podemos usar a forma:
y = 14fx^2
Onde f é a distância do vértice ao foco. Comparando com a nossa equação y = -32x^2 + 12, identificamos que 14f = -32 , então:
f = -16

Passo 5

A excentricidade e de uma parábola é sempre 1. Isso é uma característica das parábolas, independente de sua orientação ou posição.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta diretriz. Para uma parábola na forma y = 14fx^2, a diretriz é dada por:
y = -f
Substituindo f = -16:
y = 16

Resposta

A equação polar da cônica é uma parábola com excentricidade e = 1 e a equação da reta diretriz é y = 16.

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