Use a integração por partes para resolver as integrais abaixo.
integral0^pi / 2(x+1) cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral usando integração por partes! O exercício pede para calcular a integral de (x + 1) cos(2x) de 0 até pi2. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes e identificar quais partes da função vamos chamar de u e dv.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u e dv da nossa integral integral (x + 1) cos(2x) dx. Geralmente, escolhemos u como a parte que fica mais simples ao derivar, e dv como a parte fácil de integrar.
Vamos definir:
u = x + 1 e dv = cos(2x) dx

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv:
du = ddx(x + 1) dx = 1 cdot dx
v = integral cos(2x) dx = 12 sin(2x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (x + 1) cos(2x) dx = uv - integral v , du
= (x + 1) cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) dx
Agora, resolvemos a segunda integral:
integral sin(2x) dx = -12 cos(2x)
Então:
integral (x + 1) cos(2x) dx = (x + 1)2 sin(2x) + 14 cos(2x) + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de 0 a pi2:
[ (x + 1)2 sin(2x) + 14 cos(2x) ]0^pi2
Calculando em x = pi2:
(pi2 + 1)2 sin(pi) + 14 cos(pi) = (pi2 + 1)2 cdot 0 + 14 cdot (-1) = -14
Calculando em x = 0:
(0 + 1)2 sin(0) + 14 cos(0) = 12 cdot 0 + 14 cdot 1 = 14
Subtraindo os valores:
-14 - 14 = -12

Resposta

integral0^pi / 2(x+1) cos 2 x , dx = -12

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