(a) Expresse f(t) utilizando funções degrau u(t-a)=u_{a}(t) :
f(t)=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sen} t, \quad 0 \leq t<\frac{\pi}{2} \\\\ 1, \quad \frac{\pi}{2} \leq t<2 \\\ t-2 \quad t \geq 2 \end{array}\right.
(b) Utilizando a expressão da função f(t) encontrada em (a) calcule a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes (peguei todas as informações do enunciado) e pede duas coisas:
  • (a) escrever f(t) usando funções degrau u(t-a)=u_{a}(t);
  • (b) a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\} a partir da expressão do item (a).
A função dada é
f(t)=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sen} t, \quad 0 \leq t<\dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 1, \quad \dfrac{\pi}{2} \leq t<2,\\[6pt] t-2, \quad t \geq 2. \end{array}\right.]

Passo 2

Estratégia para (a) (explicar a ideia sem usar jargões técnicos): construir f(t) começando por uma “primeira camada” que vale para t\ge 0 e, a cada ponto em que a fórmula muda ( t=\tfrac{\pi}{2} e t=2), adicionar correções multiplicadas por degraus. Ou seja:
  • começo com \operatorname{sen}t válido em todo t\ge0;
  • para t\ge \tfrac{\pi}{2} quero que o valor passe a ser 1: acrescento uma correção que “substitui” \operatorname{sen}t por 1 a partir de \tfrac{\pi}{2};
  • para t\ge 2 quero que o valor passe a ser t-2: acrescento outra correção a partir de 2.
Vou montar a expressão seguindo exatamente essa ideia, mostrando as contas e checando cada intervalo.

Passo 3

Construção detalhada (passo a passo dos termos):
  1. Começo com a função base válida para t\ge0:
\operatorname{sen}t.
  1. A partir de t=\dfrac{\pi}{2} queremos que o valor passe a ser 1 (em vez de \operatorname{sen}t). Uma forma simples de forçar essa mudança é somar, a partir de \tfrac{\pi}{2}, a diferença 1-\operatorname{sen}t. Multiplico essa diferença pelo degrau u_{\pi/2}(t)=u\!\left(t-\tfrac{\pi}{2}\right). Ou seja adiciono
\bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)\,u_{\pi/2}(t).
  1. Agora, a partir de t=2 queremos que o valor passe a ser t-2 (em vez de 1). A correção necessária a partir de t=2 é (t-2)-1 = t-3. Multiplico isso pelo degrau u_{2}(t)=u(t-2). Ou seja adiciono
(t-3)\,u_{2}(t).

Passo 4

Juntando todas as camadas, obtemos a expressão final em termos de degraus:
f(t)=\operatorname{sen}t+\bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t)+(t-3)u_{2}(t).

Passo 5

Verificação rápida (checar que a expressão dá a peça correta em cada intervalo):
  • Se 0\le t<\tfrac{\pi}{2}: u_{\pi/2}(t)=0 e u_2(t)=0. Então f(t)=\operatorname{sen}t. OK.
  • Se \tfrac{\pi}{2}\le t<2: u_{\pi/2}(t)=1 e u_2(t)=0. Então
f(t)=\operatorname{sen}t+(1-\operatorname{sen}t)\cdot1 = 1.
OK.
  • Se t\ge 2: u_{\pi/2}(t)=1 e u_2(t)=1. Então
f(t)=\operatorname{sen}t+(1-\operatorname{sen}t)+(t-3)=1+(t-3)=t-2.
OK. A expressão está correta.

Passo 6

Preparação para (b): lembrar transformadas básicas e o teorema do deslocamento no tempo.
  • Definição / resultados usados:
    • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s} para \Re(s)>0.
    • \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}.
    • \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}.
    • \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}.
  • Teorema do deslocamento (usado para termos multiplicados por degrau): se g é uma função de t então
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u_{a}(t)\}=e^{-a s}\,\mathcal{L}\{g(t)\},
ou seja, para aplicar a fórmula é conveniente escrever o fator multiplicado por u_{a}(t) como uma função de (t-a).

Passo 7

Expressar os termos que aparecem na decomposição de forma adequada para aplicar o teorema:
  • O termo \operatorname{sen}t já está na forma franca; sua transformada é \dfrac{1}{s^{2}+1}.
  • O termo \bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t) contém \operatorname{sen}t para t\ge \tfrac{\pi}{2}. Para usar o teorema, reescrevemos \operatorname{sen}t em termos de t-\tfrac{\pi}{2}. Usando a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}t=\cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr),
portanto, para t\ge \tfrac{\pi}{2},
\operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t)=\cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)u_{\pi/2}(t).
Assim \bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t) é somade duas funções da forma g(t-\tfrac{\pi}{2})u_{\pi/2}(t): 1\cdot u_{\pi/2}(t) e -\cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)u_{\pi/2}(t).
  • O termo (t-3)u_{2}(t) já está na forma g(t-2)u_{2}(t) com g(\tau)=\tau-1 ou, mais diretamente, note que (t-3)=(t-2)-1. Para aplicar o teorema, observe que (t-2)\,u_{2}(t) corresponde a g(\tau)=\tau.

Passo 8

Calcular agora cada transformada e somar (usar linearidade):
  1. \mathcal{L}\{\operatorname{sen}t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}.
  2. \mathcal{L}\{ \bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t)\} = \mathcal{L}\{1\cdot u_{\pi/2}(t)\} - \mathcal{L}\{\operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t)\}.
    • Para 1\cdot u_{\pi/2}(t): escrevendo 1=u(t-\tfrac{\pi}{2}) com g(\tau)=1, aplica-se o teorema com a=\tfrac{\pi}{2} e \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Logo
    \mathcal{L}\{1\cdot u_{\pi/2}(t)\}=e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{1}{s}.
    • Para \operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t): reescrevemos como \cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)u_{\pi/2}(t). Aplicando o teorema com g(\tau)=\cos\tau e \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}, obtemos
    \mathcal{L}\{\operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t)\}=e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{s}{s^{2}+1}.
    • Portanto
    \mathcal{L}\{\bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t)\} =e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{1}{s}-e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{s}{s^{2}+1}.
  3. Para os termos a partir de t=2:
    • \mathcal{L}\{1\cdot u_{2}(t)\}=e^{-2s}\frac{1}{s}.
    • \mathcal{L}\{(t-2)u_{2}(t)\}: escrevendo g(\tau)=\tau (com \tau=t-2), usa-se \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}} e o teorema, obtendo
    \mathcal{L}\{(t-2)u_{2}(t)\}=e^{-2s}\frac{1}{s^{2}}.
    • Note que, na soma total, o termo (t-3)u_{2}(t) entrou pela construção; mas é equivalente somar -\mathcal{L}\{1\cdot u_{2}(t)\} e +\mathcal{L}\{(t-2)u_{2}(t)\} conforme a decomposição usada anteriormente.

Passo 9

Somando todas as parcelas (lembre-se de subtrair a parte \operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t) e também subtrair \,1\cdot u_{2}(t) porque a parte “1” existe apenas até t<2):
\begin{aligned} \mathcal{L}\{f(t)\} &= \mathcal{L}\{\operatorname{sen}t\} - \mathcal{L}\{\operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t)\} + \mathcal{L}\{1\cdot u_{\pi/2}(t)\} - \mathcal{L}\{1\cdot u_{2}(t)\} + \mathcal{L}\{(t-2)u_{2}(t)\}\\[6pt] &= \frac{1}{s^{2}+1} - e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{s}{s^{2}+1} + e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{1}{s} - e^{-2s}\frac{1}{s} + e^{-2s}\frac{1}{s^{2}}. \end{aligned}]

Resposta

(a) f(t)=\operatorname{sen}t+\bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t)+(t-3)u_{2}(t)
(b) \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}-e^{-\frac{\pi s}{2}}\dfrac{s}{s^{2}+1}+e^{-\frac{\pi s}{2}}\dfrac{1}{s}-e^{-2s}\dfrac{1}{s}+e^{-2s}\dfrac{1}{s^{2}}

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