Estratégia para (a) (explicar a ideia sem usar jargões técnicos): construir f(t) começando por uma “primeira camada” que vale para t\ge 0 e, a cada ponto em que a fórmula muda (t=\tfrac{\pi}{2} e t=2), adicionar correções multiplicadas por degraus. Ou seja:
começo com \operatorname{sen}t válido em todo t\ge0;
para t\ge \tfrac{\pi}{2} quero que o valor passe a ser 1: acrescento uma correção que “substitui” \operatorname{sen}t por 1 a partir de \tfrac{\pi}{2};
para t\ge 2 quero que o valor passe a ser t-2: acrescento outra correção a partir de 2.
Vou montar a expressão seguindo exatamente essa ideia, mostrando as contas e checando cada intervalo.
Passo 3
Construção detalhada (passo a passo dos termos):
Começo com a função base válida para t\ge0:
\operatorname{sen}t.
A partir de t=\dfrac{\pi}{2} queremos que o valor passe a ser 1 (em vez de \operatorname{sen}t). Uma forma simples de forçar essa mudança é somar, a partir de \tfrac{\pi}{2}, a diferença 1-\operatorname{sen}t. Multiplico essa diferença pelo degrau u_{\pi/2}(t)=u\!\left(t-\tfrac{\pi}{2}\right). Ou seja adiciono
\bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)\,u_{\pi/2}(t).
Agora, a partir de t=2 queremos que o valor passe a ser t-2 (em vez de 1). A correção necessária a partir de t=2 é (t-2)-1 = t-3. Multiplico isso pelo degrau u_{2}(t)=u(t-2). Ou seja adiciono
(t-3)\,u_{2}(t).
Passo 4
Juntando todas as camadas, obtemos a expressão final em termos de degraus:
ou seja, para aplicar a fórmula é conveniente escrever o fator multiplicado por u_{a}(t) como uma função de (t-a).
Passo 7
Expressar os termos que aparecem na decomposição de forma adequada para aplicar o teorema:
O termo \operatorname{sen}t já está na forma franca; sua transformada é \dfrac{1}{s^{2}+1}.
O termo \bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t) contém \operatorname{sen}t para t\ge \tfrac{\pi}{2}. Para usar o teorema, reescrevemos \operatorname{sen}t em termos de t-\tfrac{\pi}{2}. Usando a identidade trigonométrica
Assim \bigl(1-\operatorname{sen}t\bigr)u_{\pi/2}(t) é somade duas funções da forma g(t-\tfrac{\pi}{2})u_{\pi/2}(t): 1\cdot u_{\pi/2}(t) e -\cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)u_{\pi/2}(t).
O termo (t-3)u_{2}(t) já está na forma g(t-2)u_{2}(t) com g(\tau)=\tau-1 ou, mais diretamente, note que (t-3)=(t-2)-1. Para aplicar o teorema, observe que (t-2)\,u_{2}(t) corresponde a g(\tau)=\tau.
Passo 8
Calcular agora cada transformada e somar (usar linearidade):
Para 1\cdot u_{\pi/2}(t): escrevendo 1=u(t-\tfrac{\pi}{2}) com g(\tau)=1, aplica-se o teorema com a=\tfrac{\pi}{2} e \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Logo
Para \operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t): reescrevemos como \cos\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)u_{\pi/2}(t). Aplicando o teorema com g(\tau)=\cos\tau e \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}, obtemos
Note que, na soma total, o termo (t-3)u_{2}(t) entrou pela construção; mas é equivalente somar -\mathcal{L}\{1\cdot u_{2}(t)\} e +\mathcal{L}\{(t-2)u_{2}(t)\} conforme a decomposição usada anteriormente.
Passo 9
Somando todas as parcelas (lembre-se de subtrair a parte \operatorname{sen}t\;u_{\pi/2}(t) e também subtrair \,1\cdot u_{2}(t) porque a parte “1” existe apenas até t<2):