Considere um metal com 9,50 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} de massa específica e que tenha uma massa molecular de 69,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Supondo que esse metal forneça 2 elétrons para a condução, responda:
Qual o valor esperado para a Energia de Fermi?

Passo 1

O enunciado pede o valor esperado para a Energia de Fermi do metal, dadas as seguintes informações:
  • massa específica: \rho = 9,50\\ \mathrm{g/cm^{3}};
  • massa molar: M = 69,5\\ \mathrm{g/mol};
  • cada átomo fornece z = 2 elétrons livres para condução.
O objetivo é calcular a energia de Fermi E_{F} a partir desses dados.

Passo 2

Primeiro é preciso calcular a densidade de elétrons livres n (número de elétrons por volume). A fórmula é
n = z\,N_{A}\,\frac{\rho}{M},
onde
  • z é o número de elétrons livres por átomo;
  • N_{A}=6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} é a constante de Avogadro;
  • \rho é a densidade do metal em unidades compatíveis com M;
  • M é a massa molar (kg por mol, no SI).
Vamos primeiro colocar \rho e M no Sistema Internacional:
\rho = 9,50\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 9,50\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}
M = 69,5\\ \mathrm{g/mol} = 0,0695\\ \mathrm{kg/mol}
Agora calculamos \rho/M:
\frac{\rho}{M}=\frac{9,50\times10^{3}}{0,0695}=136\,690,647\ldots\\ \mathrm{mol/m^{3}}
Finalmente,
n = z\,N_{A}\,\frac{\rho}{M} = 2\times(6,02214076\times10^{23})\times136\,690,647\ldots \approx 1,6472\times10^{29}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Para um gás de elétrons livre (modelo de elétrons livres) a energia de Fermi é dada por
E_{F}=\frac{\hbar^{2}k_{F}^{2}}{2m_{e}},
onde k_{F} é o vetor de Fermi (ou número de onda de Fermi) dado por
k_{F}=\bigl(3\pi^{2}n\bigr)^{1/3},
e
  • \hbar=1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} é a constante de Planck reduzida;
  • m_{e}=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} é a massa do elétron.
Calculemos k_{F}. Primeiro 3\pi^{2}\approx 29,608813. Então
3\pi^{2}n \approx 29,608813\times 1,6472\times10^{29} \approx 4,8767\times10^{30}.
Tomando a raiz cúbica,
k_{F}=\bigl(4,8767\times10^{30}\bigr)^{1/3}\approx 1,695\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Agora calculamos E_{F}. Primeiro k_{F}^{2}:
k_{F}^{2}\approx (1,695\times10^{10})^{2}\approx 2,874\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-2}}.
Em seguida \hbar^{2}k_{F}^{2}:
\hbar^{2}k_{F}^{2}\approx (1,054571817\times10^{-34})^{2}\times 2,874\times10^{20} \approx 3,195\times10^{-48}\\ \mathrm{J^{2}\,s^{2}/m^{2}}
(divisões de unidades levam a joules no final). Finalmente
E_{F}=\frac{\hbar^{2}k_{F}^{2}}{2m_{e}} \approx \frac{3,195\times10^{-48}}{2\times 9,10938356\times10^{-31}} \approx 1,754\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para elétron-volts ( 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_{F}\approx \frac{1,754\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}} \approx 10,94\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo rápido: o resultado \sim 11\\ \mathrm{eV} está na faixa típica de metais (alguns têm poucos eV, outros até \sim 10 20\\ \mathrm{eV}). Você fez bem em seguir passo a passo — essa é a receita que usam na prova: calcular n, achar k_{F}=(3\pi^{2}n)^{1/3} e então E_{F}=\hbar^{2}k_{F}^{2}/(2m_{e}). Vai dar certo!

Resposta

E_{F}\approx 10,9\\ \mathrm{eV}

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