Considere um metal com
de massa específica e que tenha uma massa molecular de
. Supondo que esse metal forneça 2 elétrons para a condução, responda:
Qual o valor esperado para a Energia de Fermi?
Qual o valor esperado para a Energia de Fermi?
Passo 1
O enunciado pede o valor esperado para a Energia de Fermi do metal, dadas as seguintes informações:
- massa específica:
; - massa molar:
; - cada átomo fornece
elétrons livres para condução.
O objetivo é calcular a energia de Fermi
a partir desses dados.
Passo 2
Primeiro é preciso calcular a densidade de elétrons livres
(número de elétrons por volume). A fórmula é
onde
-
é o número de elétrons livres por átomo; -
é a constante de Avogadro; -
é a densidade do metal em unidades compatíveis com ; -
é a massa molar (kg por mol, no SI).
Vamos primeiro colocar
e
no Sistema Internacional:
Agora calculamos
:
Finalmente,
Passo 3
Para um gás de elétrons livre (modelo de elétrons livres) a energia de Fermi é dada por
onde
é o vetor de Fermi (ou número de onda de Fermi) dado por
e
-
é a constante de Planck reduzida; -
é a massa do elétron.
Calculemos
. Primeiro
. Então
Tomando a raiz cúbica,
Passo 4
Agora calculamos
. Primeiro
:
Em seguida
:
(divisões de unidades levam a joules no final). Finalmente
Convertendo para elétron-volts (
):
Passo 5
Interpretação curta e incentivo rápido: o resultado
está na faixa típica de metais (alguns têm poucos eV, outros até
–
). Você fez bem em seguir passo a passo — essa é a receita que usam na prova: calcular
, achar
e então
. Vai dar certo!