Questão 1. Seja D o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,1). Calcule
\iint_{D}\left(2 x+y^{2}\right) d A
O valor da integral é:
(a) \frac{4}{3}
(b) 1
(c) \frac{3}{2}
(d) \frac{5}{6}
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(2x+y^{2}\right)\,dA,
onde D é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,1).
Informações importantes dadas:
  • Vértices do triângulo: (0,0), (2,0), (0,1).
  • A função a integrar é 2x+y^{2}.
  • Pede-se o valor numérico da integral sobre a região triangular D.

Passo 2

Descrever a região D explicitamente (isso é crucial para montar os limites da integral iterada).
A reta que liga (2,0) a (0,1) tem equação obtida por dois pontos. A inclinação é
m=\frac{1-0}{0-2}=-\tfrac{1}{2}.
Como a reta passa por (0,1), a equação é
y=1-\frac{x}{2}.
Portanto a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le 1-\tfrac{x}{2}\}.
(Isto significa: para cada x entre 0 e 2, y varia de 0 até 1-\tfrac{x}{2}.)

Passo 3

Explicar o método de cálculo (Fubini / integral iterada) e montar a integral iterada.
Teorema (intuição prática): se a função é contínua em uma região simples como um triângulo, podemos calcular a integral dupla por uma integral iterada. Aqui é natural integrar primeiro em y (variando entre as retas horizontal inferior e superior) e depois em x.
Montamos a integral iterada:
\iint_{D}\left(2x+y^{2}\right)\,dA =\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{1-\tfrac{x}{2}}\left(2x+y^{2}\right)\,dy\right)dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1-\tfrac{x}{2}}\left(2x+y^{2}\right)\,dy.
Tratemos termo a termo. A primitiva em y de 2x (tratando x como constante) é 2x y. A primitiva de y^{2} é \tfrac{y^{3}}{3}. Logo
\int_{0}^{1-\tfrac{x}{2}}\left(2x+y^{2}\right)\,dy =\left[2xy+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=0}^{y=1-\tfrac{x}{2}} =2x\left(1-\frac{x}{2}\right)+\frac{\left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{3}}{3}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para ficar pronta para integrar em x.
Calculemos \left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{3}. Usando a expansão do cubo:
\left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{3} =1-3\cdot\frac{x}{2}+3\cdot\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{3}}{8} =1-\frac{3x}{2}+\frac{3x^{2}}{4}-\frac{x^{3}}{8}.
Dividindo por 3 obtemos
\frac{\left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{3}}{3} =\frac{1}{3}-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{3}}{24}.
Somando com 2x\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=2x-x^{2}, a função a integrar em x fica
2x-x^{2}+\frac{1}{3}-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{3}}{24}.
Agrupando termos semelhantes:
\frac{1}{3}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{x^{3}}{24}.

Passo 6

Integrar termo a termo em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{x^{3}}{24}\right)dx.
Calcule as primitivas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{3}\,dx=\frac{x}{3}.
  • \displaystyle \int \frac{3}{2}x\,dx=\frac{3}{4}x^{2}.
  • \displaystyle \int -\frac{3}{4}x^{2}\,dx=-\frac{1}{4}x^{3}. (porque -\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{x^{3}}{3}=-\tfrac{1}{4}x^{3})
  • \displaystyle \int -\frac{x^{3}}{24}\,dx=-\frac{1}{96}x^{4}.
Avalie de 0 a 2:
\left[\frac{x}{3}+\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{96}x^{4}\right]_{0}^{2}.
Substituindo x=2:
\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\cdot 4-\frac{1}{4}\cdot 8-\frac{1}{96}\cdot 16.
Calcule cada termo:
\frac{2}{3} + 3 - 2 - \frac{16}{96}.
Simplifique \frac{16}{96}=\frac{1}{6}. Então
\frac{2}{3}+3-2-\frac{1}{6}.
Agrupando parcelas constantes:
\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\right)+(3-2)=\frac{4-1}{6}+1=\frac{3}{6}+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Passo 7

Interpretação final: o valor da integral dupla sobre o triângulo D é \dfrac{3}{2}. Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) \dfrac{3}{2}

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