Questão 1. Seja
o triângulo de vértices
e
. Calcule
O valor da integral é:
(a)
(b) 1
(c)
(d)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
(a)
(b) 1
(c)
(d)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o triângulo com vértices
,
e
.
Informações importantes dadas:
- Vértices do triângulo:
, , . - A função a integrar é
. - Pede-se o valor numérico da integral sobre a região triangular
.
Passo 2
Descrever a região
explicitamente (isso é crucial para montar os limites da integral iterada).
A reta que liga
a
tem equação obtida por dois pontos. A inclinação é
Como a reta passa por
, a equação é
Portanto a região
é
(Isto significa: para cada
entre
e
,
varia de
até
.)
Passo 3
Explicar o método de cálculo (Fubini / integral iterada) e montar a integral iterada.
Teorema (intuição prática): se a função é contínua em uma região simples como um triângulo, podemos calcular a integral dupla por uma integral iterada. Aqui é natural integrar primeiro em
(variando entre as retas horizontal inferior e superior) e depois em
.
Montamos a integral iterada:
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Tratemos termo a termo. A primitiva em
de
(tratando
como constante) é
. A primitiva de
é
. Logo
Passo 5
Simplificar a expressão obtida para ficar pronta para integrar em
.
Calculemos
. Usando a expansão do cubo:
Dividindo por
obtemos
Somando com
, a função a integrar em
fica
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Integrar termo a termo em
de
a
:
Calcule as primitivas:
-
-
-
(porque ) -
Avalie de
a
:
Substituindo
:
Calcule cada termo:
Simplifique
. Então
Agrupando parcelas constantes:
Passo 7
Interpretação final: o valor da integral dupla sobre o triângulo
é
. Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (c).
Resposta
(c)