O valor da integral é:
(a) \frac{15}{16}
(b) \frac{15}{32}(2+\pi)
(c) \frac{15}{32}(\pi-2)
(d) \frac{15}{32}(3 \pi-2)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a região R no plano x y em coordenadas polares:
1 \leq r \leq 2,\qquad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}.
Pede para calcular a integral de área
\iint_{R} y^{2}\,dA.
Resumo do que foi dado e do que se pede:
Região R é um setor circular entre os círculos de raio r=1 e r=2, com ângulo \theta variando de 0 a \tfrac{\pi}{4}.
Calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{R} y^{2}\,dA.
Passo 2
Escolha do procedimento e mudança para coordenadas polares (motivação):
A região já está descrita em coordenadas polares, por isso é natural usar essas coordenadas para calcular a integral.
Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas e o elemento de área valem:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta (o arco de círculo de raio r e ângulo d\theta tem comprimento aproximadamente r\,d\theta), então a área do pequeno elemento é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
Passo 3
Converter a integranda y^{2} para polares e montar a integral:
Como y = r\sin\theta, tem-se
y^{2} = (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r do elemento de área, a função a integrar em r,\theta fica r^{2}\sin^{2}\theta\cdot r = r^{3}\sin^{2}\theta.