Questão 2. No plano x y, considere a região R descrita em coordenadas polares por
1 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}
Calcule
\iint_{R} y^{2} d A
O valor da integral é:
(a) \frac{15}{16}
(b) \frac{15}{32}(2+\pi)
(c) \frac{15}{32}(\pi-2)
(d) \frac{15}{32}(3 \pi-2)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a região R no plano x y em coordenadas polares:
1 \leq r \leq 2,\qquad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}.
Pede para calcular a integral de área
\iint_{R} y^{2}\,dA.
Resumo do que foi dado e do que se pede:
  • Região R é um setor circular entre os círculos de raio r=1 e r=2, com ângulo \theta variando de 0 a \tfrac{\pi}{4}.
  • Calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{R} y^{2}\,dA.

Passo 2

Escolha do procedimento e mudança para coordenadas polares (motivação):
  • A região já está descrita em coordenadas polares, por isso é natural usar essas coordenadas para calcular a integral.
  • Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas e o elemento de área valem:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta (o arco de círculo de raio r e ângulo d\theta tem comprimento aproximadamente r\,d\theta), então a área do pequeno elemento é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Converter a integranda y^{2} para polares e montar a integral:
  • Como y = r\sin\theta, tem-se
y^{2} = (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta.
  • Multiplicando pelo Jacobiano r do elemento de área, a função a integrar em r,\theta fica r^{2}\sin^{2}\theta\cdot r = r^{3}\sin^{2}\theta.
  • Portanto a integral dupla se transforma em
\iint_{R} y^{2}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2} r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separar integrais (dependência de r e \theta) e efetuar a integral em r:
  • Observe que a integranda é produto de uma função só de r e outra só de \theta, então podemos escrever
\int_{0}^{\pi/4}\int_{1}^{2} r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\theta\left(\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\right)d\theta.
  • Calcule a integral em r:
\int_{1}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.
  • Assim a integral fica
\iint_{R} y^{2}\,dA = \frac{15}{4}\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \theta usando a identidade trigonométrica para \sin^{2}\theta:
  • Identidade útil:
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
  • Então
\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}1\,d\theta - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\cos(2\theta)\,d\theta.
  • Calcule cada parte:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}1\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8},
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\left.\frac{\sin(2\theta)}{2}\right|_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin 0\bigr) = \frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{1}{4}.
  • Portanto
\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} = \frac{\pi-2}{8}.

Passo 6

Combinar resultados e simplificar:
  • Substituindo na expressão obtida em

Passo 7

\iint_{R} y^{2}\,dA = \frac{15}{4}\cdot\frac{\pi-2}{8} = \frac{15(\pi-2)}{32}.
  • Esse é o valor final da integral.

Resposta

(c) \displaystyle \frac{15}{32}(\pi-2)

Exercícios relacionados