Expresse a função h(x) como uma composição de duas funçoes f(x) e g(x). Use a regra da cadeia para calcular a derivada h^prime(x).
h(x)=(cos x+1)^21+cos x

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função
h(x) = (cos x + 1)^21 + cos x
como uma composição de duas funções f e g e, em seguida, usar a regra da cadeia para encontrar h'(x). O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Precisamos achar f e g tais que
!h(x)=fl(g(x)r)
Observe que cos x aparece isolado em h, mas podemos reescrevê-lo como (cos x+1)-1. Então definimos
g(x)=cos x+1,
f(u)=u^21 + u - 1
De fato,
fl(g(x)r) = (,cos x+1,)^21 + (cos x+1) - 1 = (cos x+1)^21 + cos x,
que é exatamente h(x).

Passo 3

Agora derivamos cada uma:
f'(u)=21,u^20+1,
g'(x)=-sin x

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de h(x)=fl(g(x)r) é
h'(x) = f'l(g(x)r),cdot,g'(x)
Substituindo g(x)=cos x+1 e as derivadas acima, obtemos
h'(x) = l(21,(cos x+1)^20+1r),(-sin x) = -l(21,(cos x+1)^20+1r),sin x

Resposta

h'(x) = -l(21,(cos x+1)^20+1r),sin x

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