Use a Definição 4 para encontrar f^prime(a) para o valor de a fornecido.
f(x)=5 x^4, a=-1

Passo 1

O enunciado nos dá f(x)=5x^4 e pede f'(a) para a=-1. O conteúdo é a derivada como limite do quociente incremental, usando a definição
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
Vamos aplicar esse procedimento para a=-1.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental para a=-1:
f(x)-f(-1)x-(-1) =5x^4-5(-1)^4x+1 =5x^4-5x+1
Fatoramos o numerador:
5x^4-5=5(x^4-1)=5(x^2-1)(x^2+1)=5(x-1)(x+1)(x^2+1)
Assim o quociente simplifica-se para
5(x-1)(x+1)(x^2+1)x+1 =5(x-1)(x^2+1), xneq -1

Passo 3

Agora calculamos o limite quando xto -1:
f'(-1) =limxto -15(x-1)(x^2+1) =5l((-1)-1r)l((-1)^2+1r) =5(-2)(1+1) =-20

Resposta

f'(-1)=-20

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