Verifique se as funções são solução da equação de Laplace
f(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
satisfaz a equação de Laplace
De<a f = partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 0
no domínio onde f é duas vezes continuamente diferenciável (ou seja, em R^2setminus(0,0)).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais segundas em x.
Primeiro
partial fpartial x = 1x^2+y^2cdot 2x = 2xx^2+y^2
Em seguida
partial^2fpartial x^2 = partialpartial x!l(2xx^2+y^2r) = 2(x^2+y^2) - 2xcdot 2x(x^2+y^2)^2 = 2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Calcular as derivadas parciais segundas em y.
Primeiro
partial fpartial y = 2yx^2+y^2
Em seguida
partial^2fpartial y^2 = partialpartial y!l(2yx^2+y^2r) = 2(x^2+y^2) - 2ycdot 2y(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Somar as segundas derivadas para obter o Laplaciano:
De<a f = partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2 + 2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2 = 0
Isso mostra que De<a f=0 em todo ponto de R^2setminus(0,0).

Resposta

A função f(x,y)=ln(x^2+y^2) satisfaz a equação de Laplace (é harmônica) em R^2setminus(0,0).

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