[G1, G2] Expresse a função h como uma composição de duas funçoes f e g. Use a regra da cadeia para calcular a derivada.
h(x)=x^2+1x^4+2

Passo 1

O enunciado pede para escrever
h(x)=x^2+1x^4+2
como uma composição h=fcirc g e, em seguida, usar a regra da cadeia para encontrar h'(x). O conteúdo fundamental aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Escolhemos desmembrar h em duas funções mais simples: uma função interna
g(x)=x^2
e uma função externa que opera sobre u=g(x), dada por
f(u)=u+1u^2+2
Assim, de fato
h(x)=fl(g(x)r)

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que, se h(x)=fl(g(x)r), então
h'(x)=f'l(g(x)r)cdot g'(x)

Passo 4

Calculamos primeiro a derivada de g:
g(x)=x^2 Longrightarrow g'(x)=2x

Passo 5

Agora derivamos f em função de u. Usamos a regra do quociente:
f(u)=u+1u^2+2 Longrightarrow f'(u) =(u^2+2)cdot1 - (u+1)cdot2u(u^2+2)^2 =u^2+2 -2u^2-2u(u^2+2)^2 =-u^2-2u+2(u^2+2)^2

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
h'(x) =f'l(g(x)r)cdot g'(x) =-l(g(x)r)^2-2,g(x)+2l(g(x)^2+2r)^2;cdot;2x
Como g(x)=x^2, isso fica
h'(x) =2x;-l(x^2r)^2-2,x^2+2l(x^4+2r)^2 =2x,l(-x^4-2x^2+2r)(x^4+2)^2 =-2x,(x^4+2x^2-2)(x^4+2)^2

Resposta

h'(x) =-2x,(x^4+2x^2-2)(x^4+2)^2

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