(7 pontos) Faça as operações indicadas a seguir considerando as matrizes A e B apresentadas abaixo:
A=[ll 1 & 4 5 & 0 0 & 5 1 & 0 ] e B=[ll 3 & 0 1 & 1 0 & 1 3 & 0 ]
(a) (1 ponto) Determine a matriz C=2 A-B.
(b) (3 ponto) Determine a matriz D=C times B^T.
(c) (3 ponto) Calcule o determinante da matriz D.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B de ordem 4times2:
A= 1 & 4 5 & 0 0 & 5 1 & 0 , B= 3 & 0 1 & 1 0 & 1 3 & 0
Pede-se:
– (a) calcular C=2A-B,
– (b) formar D=C,B^T,
– (c) encontrar det(D).
Usaremos operações elementares de matrizes, transposição, multiplicação e determinante.

Passo 2

Para C=2A-B fazemos 2A e subtraímos B elemento a elemento:
2A= 2 & 8 10 & 0 0 &10 2 & 0 , C=2A-B= 2-3 & 8-0 10-1 & 0-1 0-0 & 10-1 2-3 & 0-0 = -1 & 8 9 & -1 0 & 9 -1 & 0

Passo 3

Primeiro obtemos
B^T= 3 & 1 & 0 & 3 0 & 1 & 1 & 0
Em seguida calculamos D=C,B^T (produto de 4times2 por 2times4):
D= -1 & 8 9 & -1 0 & 9 -1 & 0 3 & 1 & 0 & 3 0 & 1 & 1 & 0 = -3 & 7 & 8 & -3 27 & 8 & -1 & 27 0 & 9 & 9 & 0 -3 & -1 & 0 & -3

Passo 4

Para det(D) fazemos eliminação por linhas. Usando a primeira linha como pivô e zerando a coluna 1 abaixo:
R2>=ts R2+9R1 e R4>=ts R4-R1 não alteram o determinante.
Obtemos um bloco triangular com pivô -3 na posição (1,1) e coluna 1 zerada abaixo, restando um bloco 3times3 com terceira coluna nula. Logo esse bloco tem determinante zero.
Portanto
det(D)=(-3)times0=0

Resposta

(a)
C=2A-B= -1 & 8 9 & -1 0 & 9 -1 & 0
(b)
D=C,B^T= -3 & 7 & 8 & -3 27 & 8 & -1 & 27 0 & 9 & 9 & 0 -3 & -1 & 0 & -3
(c)
det(D)=0

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