Parte 2 - Séries de Taylor (centradas na origem)
Determine a série de Taylor para f(x)=e^x cos (x) centrada em x=0 considerando os cinco primeiros termos não nulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Taylor para a função $ f(x) = e^{x} \cos(x) $ centrada em $ x = 0 $, ou seja, a série de Maclaurin. Vamos focar nos cinco primeiros termos que não são nulos. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Taylor para funções exponenciais e trigonométricas, além de aprender a multiplicar essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função $ e^{x} $ centrada em 0. A série de Taylor para $ e^{x} $ é bastante conhecida e é dada por:
e^x
Ou seja, cada termo da série é $ \frac{x^{n}}{n!} $, onde $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a série de Taylor da função $ \cos(x) $ centrada em 0. A série de Taylor para $ \cos(x) $ é:
cos(x)
Note que a série de $ \cos(x) $ só tem termos com potências pares de $ x $, e os sinais alternam entre positivo e negativo.

Passo 4

Agora que temos as séries de $ e^{x} $ e $ \cos(x) $, vamos multiplicá-las para encontrar a série de $ f(x) = e^{x} \cos(x) $. Para multiplicar duas séries, a gente precisa multiplicar cada termo de uma série por cada termo da outra e somar os resultados, combinando os termos que tiverem a mesma potência de $ x $.
Vamos multiplicar os primeiros cinco termos não nulos de cada série:
e^x
cos(x)
Multiplicando:
f(x) = e^x cos(x)
Vamos calcular cada parte até obter os cinco primeiros termos não nulos.

Passo 5

Vamos calcular os termos:
  1. Termo constante ($ x^{0} $):
x^0
  1. Termo linear ($ x^{1} $):
1 times 1 = 1
  1. Termo quadrático ($ x^{2} $):
x^1
Então, esse termo cancela.
  1. Termo de $ x^{3} $:
x times 1 = x
  1. Termo de $ x^{4} $:
x^2
  1. Próximo termo de $ x^{5} $:
$$
\frac{x^{5}}{5!} \times 1 + \frac{x^{3}}{3!} \times \left(-\frac{x^{2}}{2!}\right) + x \times \frac{x^{4}}{4!} = \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{5}}{12} + \frac{x^{5}}{24} = (Simplificando)
$$
Calcular esse termo pode nos dar o quinto termo não nulo.

Passo 6

Finalmente, juntando todos os termos que não cancelaram:
f(x) = 1 + x - x^33 - x^412 + cdots
Então, os cinco primeiros termos não nulos da série de Taylor de $ f(x) = e^{x} \cos(x) $ centrada em 0 são:
f(x) = e^x cos(x)

Resposta

A série de Taylor de $ f(x) = e^{x} \cos(x) $ centrada em $ x = 0 $ com os cinco primeiros termos não nulos é:
f(x) = e^x cos(x)

Exercícios relacionados