Expresse a função na forma
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes:
A tarefa é “expresser a função na forma
,”, ou seja, escrever a função dada como composição de duas funções (uma aplicada depois da outra). Vou listar claramente o que é pedido:
- Queremos encontrar funções (duas delas) tais que, aplicando primeiro uma e depois outra, o resultado seja exatamente a função dada acima.
- As informações relevantes são só a própria definição por partes da função dada.]
Passo 2
O que significa escrever uma função como composição? Vou explicar devagar.
- Dizemos que
é a composição de com (escrevemos ) quando, para todo do domínio, vale
- Ou seja: primeiro aplicamos
em , obtém-se ; depois aplicamos nesse resultado e obtemos .
Uma maneira simples e sempre válida de representar qualquer funçãocomo composição é usar a função identidade como . A função identidade é definida por
Então, para qualquer função
, tem-se
porque
.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso caso: podemos escolher a função interior
como a identidade,
Agora precisamos definir a função exterior (vou chamá-la de
, para não confundir com a
dada no enunciado quando falamos de composição). Definimos
de modo que, para qualquer entrada
,
produza exatamente o valor que a função original dá em
. Assim tomamos
Passo 4
Verificação passo a passo (para você poder usar isso na prova):
- Primeiro aplicamos
portanto
. Logo a composição reproduz a função dada.]
Passo 5
Comentário didático e incentivo: esta é a maneira mais direta e segura de escrever qualquer função como composição — usar a identidade como função interior e copiar a regra da função original na função exterior. Se quiser decomposições não triviais (por exemplo, escrever a função como composição de funções mais simples como polinômios, valor absoluto, sinais, etc.), dá para tentar, mas costuma pedir truques extras. Para a prova, se o enunciado não exigir algo específico, a decomposição com a identidade é correta e aceita.