Expresse a função na forma f \circ g\). \(f(x)= \begin{cases}x+2 & \text { se } x<0 \\\\ 1-x & \text { se } x \geqslant 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes:
f(x)=\begin{cases} x+2 & \text{se } x<0,\\[4pt] 1-x & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
A tarefa é “expresser a função na forma \,f\circ g,”, ou seja, escrever a função dada como composição de duas funções (uma aplicada depois da outra). Vou listar claramente o que é pedido:
  • Queremos encontrar funções (duas delas) tais que, aplicando primeiro uma e depois outra, o resultado seja exatamente a função dada acima.
  • As informações relevantes são só a própria definição por partes da função dada.]

Passo 2

O que significa escrever uma função como composição? Vou explicar devagar.
  • Dizemos que h é a composição de F com G (escrevemos h=F\circ G) quando, para todo x do domínio, vale
h(x)=(F\circ G)(x)=F\big(G(x)\big).
  • Ou seja: primeiro aplicamos G em x, obtém-se G(x); depois aplicamos F nesse resultado e obtemos F(G(x)).
    Uma maneira simples e sempre válida de representar qualquer função H como composição é usar a função identidade como G. A função identidade é definida por
\mathrm{id}(x)=x\quad\text{para todo }x.
Então, para qualquer função H, tem-se H = H\circ \mathrm{id} porque H(\mathrm{id}(x))=H(x).

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso caso: podemos escolher a função interior g como a identidade,
g(x)=\mathrm{id}(x)=x.
Agora precisamos definir a função exterior (vou chamá-la de F, para não confundir com a f dada no enunciado quando falamos de composição). Definimos F de modo que, para qualquer entrada t, F(t) produza exatamente o valor que a função original dá em x=t. Assim tomamos
F(t)=\begin{cases} t+2 & \text{se } t<0,\\[4pt] 1-t & \text{se } t\ge 0. \end{cases}]

Passo 4

Verificação passo a passo (para você poder usar isso na prova):
  • Primeiro aplicamos g\) a um \(x\). Como \(g(x)=x\), obtemos \(g(x)=x\). - Em seguida aplicamos \(F\) a \(g(x)\): \(F(g(x))=F(x)\). - Pelo modo como definimos \(F\), \(F(x)\) é exatamente a peça correta da definição por partes: \[F(x)=\begin{cases} x+2 & \text{se } x<0,\\[4pt] 1-x & \text{se } x\ge 0, \end{cases}
portanto F\big(g(x)\big)=f(x)\] para todo \(x. Logo a composição reproduz a função dada.]

Passo 5

Comentário didático e incentivo: esta é a maneira mais direta e segura de escrever qualquer função como composição — usar a identidade como função interior e copiar a regra da função original na função exterior. Se quiser decomposições não triviais (por exemplo, escrever a função como composição de funções mais simples como polinômios, valor absoluto, sinais, etc.), dá para tentar, mas costuma pedir truques extras. Para a prova, se o enunciado não exigir algo específico, a decomposição com a identidade é correta e aceita.

Resposta

f = F \circ g, com
g(x)=x \qquad\text{e}\qquad F(t)=\begin{cases} t+2 & \text{se } t<0,\\[4pt] 1-t & \text{se } t\ge 0. \end{cases}]

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