Derive a funções abaixo.
y=\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede: derivar a função
y=\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{3}.
Informações dadas/observações iniciais:
  • A função é uma potência de uma fração racional.
  • O denominador (x+7) não pode ser zero, então a função e sua derivada só fazem sentido para x\neq -7.
  • O objetivo é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Estratégia (apenas para organizar): usar a regra da cadeia. Primeiro, introduzo a substituição
u=\frac{x-6}{x+7},
de modo que
y=u^{3}.
Regra da cadeia (explicação): se y=u^{3} e u=u(x), então a derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui \dfrac{dy}{du} é a derivada da função externa t\mapsto t^{3} avaliada em t=u, e \dfrac{du}{dx} é a derivada da função interna u(x). A derivada de t^{3} é 3t^{2}, logo
\frac{dy}{dx}=3u^{2}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora preciso calcular \dfrac{du}{dx} com u=\dfrac{x-6}{x+7}. Para isso uso a regra do quociente. Fórmula da regra do quociente (explicação): se u=\dfrac{f(x)}{g(x)} então
\frac{du}{dx}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Aqui tomo f(x)=x-6 e g(x)=x+7. Calculando as derivadas simples:
f'(x)=1,\qquad g'(x)=1.
Aplicando a fórmula:
\frac{du}{dx}=\frac{1\cdot(x+7)-(x-6)\cdot1}{(x+7)^{2}}=\frac{x+7-x+6}{(x+7)^{2}}=\frac{13}{(x+7)^{2}}.

Passo 4

Volto para a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=3u^{2}\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo u=\dfrac{x-6}{x+7} e \dfrac{du}{dx}=\dfrac{13}{(x+7)^{2}}, obtenho
\frac{dy}{dx}=3\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{2}\cdot\frac{13}{(x+7)^{2}}.

Passo 5

Simplificação algébrica (passo a passo): multiplicando constantes dá 3\cdot 13=39. Quanto às potências de (x+7),
\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{2}\cdot\frac{1}{(x+7)^{2}}=\frac{(x-6)^{2}}{(x+7)^{2}}\cdot\frac{1}{(x+7)^{2}}=\frac{(x-6)^{2}}{(x+7)^{4}}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{39\,(x-6)^{2}}{(x+7)^{4}}.

Passo 6

Pequena verificação intuitiva e exemplo adicional (didático): a estrutura usada foi a regra da cadeia aplicada a y=(\text{algo})^{3} multiplicada pela derivada desse “algo”. Exemplo simples similar: se y=(2x+1)^{3} então \dfrac{dy}{dx}=3(2x+1)^{2}\cdot 2=6(2x+1)^{2}. O raciocínio é o mesmo que foi aplicado acima, só que no exercício o “algo” era uma fração e exigiu a regra do quociente.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{39(x-6)^{2}}{(x+7)^{4}}

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