Derive a funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: derivar a função
Informações dadas/observações iniciais:
- A função é uma potência de uma fração racional.
- O denominador
não pode ser zero, então a função e sua derivada só fazem sentido para . - O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Estratégia (apenas para organizar): usar a regra da cadeia. Primeiro, introduzo a substituição
de modo que
Regra da cadeia (explicação): se
e
, então a derivada de
em relação a
é
Aqui
é a derivada da função externa
avaliada em
, e
é a derivada da função interna
. A derivada de
é
, logo
Passo 3
Agora preciso calcular
com
. Para isso uso a regra do quociente. Fórmula da regra do quociente (explicação): se
então
Aqui tomo
e
. Calculando as derivadas simples:
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Volto para a regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtenho
Passo 5
Simplificação algébrica (passo a passo): multiplicando constantes dá
. Quanto às potências de
,
Portanto
Passo 6
Pequena verificação intuitiva e exemplo adicional (didático): a estrutura usada foi a regra da cadeia aplicada a
multiplicada pela derivada desse “algo”. Exemplo simples similar: se
então
. O raciocínio é o mesmo que foi aplicado acima, só que no exercício o “algo” era uma fração e exigiu a regra do quociente.