Suponha que a função g(x) é a função inversa da função f(x).
(a) Encontre g(1) e g^prime(1) sabendo que f(2)=1 e f^prime(1)=5.
(b) Encontre g^prime(1) sabendo que f(x)=x^5+x^3+7 x+1.

Passo 1

O enunciado diz que g é a inversa de f, isto é,
gl(f(x)r)=x
e pede:
(a) g(1) e g'(1) sabendo que f(2)=1 e f'(2)=5.
(b) g'(1) sabendo que f(x)=x^5+x^3+7x+1.

Passo 2

Para achar g(1) em (a) usamos que f(2)=1. Como g é inversa de f, temos
g(1)=gl(f(2)r)=2

Passo 3

A fórmula da derivada da inversa diz
g'(y)=1f'l(g(y)r)
Logo, em y=1,
g'(1)=1f'l(g(1)r)=1f'(2)=15

Passo 4

Agora no item (b), temos
f(x)=x^5+x^3+7x+1
Primeiro achamos o x tal que f(x)=1:
x^5+x^3+7x+1=1 Longrightarrow xl(x^4+x^2+7r)=0 Longrightarrow x=0
Logo g(1)=0. A derivada de f é
f'(x)=5x^4+3x^2+7,
de onde
f'(0)=7 Longrightarrow g'(1)=1f'(0)=17

Resposta

(a) g(1)=2 e g'(1)=tfrac15.
(b) g'(1)=tfrac17.

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