Expresse a função indicada na forma f(z)=u+i v.
c) f(z)=z^3-4 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente expressar a função f(z) = z^3 - 4z na forma f(z) = u + iv. Aqui, estamos lidando com números complexos, e precisamos separar a parte real ( u) da parte imaginária ( v) da função. Para isso, vamos precisar lembrar como trabalhar com a forma algébrica dos números complexos, ou seja, escrever z como x + iy, onde x é a parte real e y é a parte imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir z por x + iy na função f(z):
f(z) = (x + iy)^3 - 4(x + iy)

Passo 3

Agora, precisamos calcular (x + iy)^3. Para isso, usamos a fórmula do binômio de Newton:
(x + iy)^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3
Vamos simplificar cada termo:
= x^3 + 3x^2iy + 3x(i^2y^2) + i^3y^3
Lembrando que i^2 = -1 e i^3 = -i, temos:
= x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3

Passo 4

Agora, vamos escrever a função completa substituindo:
f(z) = (x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3) - 4x - 4iy
Vamos separar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
x^3 - 3xy^2 - 4x
Parte imaginária:
3x^2y - y^3 - 4y

Resposta

Portanto, a função f(z) expressa na forma u + iv é:
f(z) = (x^3 - 3xy^2 - 4x) + i(3x^2y - y^3 - 4y)

Exercícios relacionados