Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se 
  possui autovetores 
  e 
  associados aos autovalores 
  e 
 , respectivamente, então 
 .
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma transformação linear 
  que leva vetores do plano 
  para ele mesmo. A gente tem dois autovetores 
  e 
  com autovalores 
  e 
 , respectivamente. A questão quer saber se, aplicando 
  no vetor 
 , o resultado é 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender como os autovalores e autovetores funcionam e como usar a linearidade da transformação 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovetor 
  de uma transformação linear 
  é um vetor que, quando 
  é aplicada a ele, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor 
 . Ou seja, 
 . Isso significa que, se soubermos os autovetores e seus autovalores, podemos facilmente aplicar 
  a combinações desses autovetores.
Passo 3
Como 
  é linear, qualquer vetor no plano 
 , incluindo 
 , pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores 
  e 
 . Vamos encontrar constantes 
  e 
  tais que:
Isso nos permite expressar 
  em termos dos autovetores de 
 .
Passo 4
Vamos montar as equações a partir das componentes:
Resolvendo a segunda equação para 
 :
Substituindo na primeira equação:
Então, 
 .
Passo 5
Agora que sabemos que 
 , podemos aplicar 
  a esse vetor usando a linearidade:
Sabendo que 
  e 
 , substituímos:
Resposta
Falso. 
  resulta em 
 , não 
 .