Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se
possui autovetores
e
associados aos autovalores
e
, respectivamente, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma transformação linear
que leva vetores do plano
para ele mesmo. A gente tem dois autovetores
e
com autovalores
e
, respectivamente. A questão quer saber se, aplicando
no vetor
, o resultado é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como os autovalores e autovetores funcionam e como usar a linearidade da transformação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovetor
de uma transformação linear
é um vetor que, quando
é aplicada a ele, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor
. Ou seja,
. Isso significa que, se soubermos os autovetores e seus autovalores, podemos facilmente aplicar
a combinações desses autovetores.
Passo 3
Como
é linear, qualquer vetor no plano
, incluindo
, pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores
e
. Vamos encontrar constantes
e
tais que:
Isso nos permite expressar
em termos dos autovetores de
.
Passo 4
Vamos montar as equações a partir das componentes:
Resolvendo a segunda equação para
:
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos aplicar
a esse vetor usando a linearidade:
Sabendo que
e
, substituímos:
Resposta
Falso.
resulta em
, não
.