Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se T: R^2 R^2 possui autovetores v1=(-2,1) e v2=(3,1) associados aos autovalores lambda1=3 e lambda2=-1, respectivamente, então T(-1,3)=(-15,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma transformação linear que leva vetores do plano para ele mesmo. A gente tem dois autovetores e com autovalores e , respectivamente. A questão quer saber se, aplicando no vetor , o resultado é . Para resolver isso, vamos precisar entender como os autovalores e autovetores funcionam e como usar a linearidade da transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovetor de uma transformação linear é um vetor que, quando é aplicada a ele, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor . Ou seja, . Isso significa que, se soubermos os autovetores e seus autovalores, podemos facilmente aplicar a combinações desses autovetores.

Passo 3

Como a cdot (-2, 1) + b cdot (3, 1) = (-1, 3) é linear, qualquer vetor no plano , incluindo , pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores e . Vamos encontrar constantes e tais que:
Isso nos permite expressar em termos dos autovetores de .

Passo 4

Vamos montar as equações a partir das componentes:
-2a + 3b = -1 (componente x)
a + b = 3 (componente y)
Resolvendo a segunda equação para a = 3 - b :
-2(3 - b) + 3b = -1 -6 + 2b + 3b = -1 5b = 5 b = 1
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 5

Agora que sabemos que T(-1, 3) = 2T(v1) + 1T(v2) , podemos aplicar T(-1, 3) = 2(-6, 3) + 1(-3, -1) = (-12, 6) + (-3, -1) = (-15, 5) a esse vetor usando a linearidade:
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

Falso. resulta em , não .

Exercícios relacionados