Sejam 
  um corpo (com 
  ou 
  ), 
  um espaço vetorial sobre 
  e 
  um operador linear. Suponha que todo vetor não-nulo de 
  é um autovetor de 
 . Mostre que se 
  são linearmente independentes e 
  são tais que 
  e 
  © 
 , então 
 . Boa prova!
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e operadores lineares. Basicamente, temos um operador linear 
  que, quando aplicado a qualquer vetor não-nulo do espaço 
 , retorna esse vetor multiplicado por um escalar (chamado de autovalor). Nosso objetivo é mostrar que, se dois vetores 
  e 
  são linearmente independentes e têm autovalores 
  e 
  respectivamente, e a soma desses vetores 
  também é um autovetor com autovalor 
 , então necessariamente 
 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de operadores lineares, autovetores, e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que sabemos sobre o operador 
 :
Além disso, sabemos que:
Como 
  é linear, podemos aplicar a linearidade:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Como 
  e 
  são vetores linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:
Resposta
Portanto, 
 .