Sejam K um corpo (com K=R ou K=C ), V um espaço vetorial sobre K e T: V V um operador linear. Suponha que todo vetor não-nulo de V é um autovetor de T. Mostre que se v1, v2 in V são linearmente independentes e lambda1, lambda2 in K são tais que T(v1)=lambda1 v1 e T(v2)=lambda2 v2 © T(v1+v2)=lambda(v1+v2), então lambda1=lambda2=lambda. Boa prova!

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e operadores lineares. Basicamente, temos um operador linear que, quando aplicado a qualquer vetor não-nulo do espaço , retorna esse vetor multiplicado por um escalar (chamado de autovalor). Nosso objetivo é mostrar que, se dois vetores e são linearmente independentes e têm autovalores e respectivamente, e a soma desses vetores também é um autovetor com autovalor , então necessariamente . Para resolver isso, vamos usar conceitos de operadores lineares, autovetores, e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que sabemos sobre o operador T(v1) = lambda1 v1 e T(v2) = lambda2 v2 :
T(v1 + v2) = lambda (v1 + v2)
Além disso, sabemos que:
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = lambda1 v1 + lambda2 v2
Como lambda1 v1 + lambda2 v2 = lambda (v1 + v2) = lambda v1 + lambda v2 é linear, podemos aplicar a linearidade:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação:
lambda1 v1 + lambda2 v2 - lambda v1 - lambda v2 = 0
Isso pode ser escrito como:
(lambda1 - lambda) v1 + (lambda2 - lambda) v2 = 0
Como lambda1 - lambda = 0 e lambda2 - lambda = 0 e lambda1 = lambda e lambda2 = lambda são vetores linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:

Resposta

Portanto, .

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