Sejam
um corpo (com
ou
),
um espaço vetorial sobre
e
um operador linear. Suponha que todo vetor não-nulo de
é um autovetor de
. Mostre que se
são linearmente independentes e
são tais que
e
©
, então
. Boa prova!
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e operadores lineares. Basicamente, temos um operador linear
que, quando aplicado a qualquer vetor não-nulo do espaço
, retorna esse vetor multiplicado por um escalar (chamado de autovalor). Nosso objetivo é mostrar que, se dois vetores
e
são linearmente independentes e têm autovalores
e
respectivamente, e a soma desses vetores
também é um autovetor com autovalor
, então necessariamente
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de operadores lineares, autovetores, e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que sabemos sobre o operador
:
Além disso, sabemos que:
Como
é linear, podemos aplicar a linearidade:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Como
e
são vetores linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser zero é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:
Resposta
Portanto,
.