Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
an=(2+1n)^12

Passo 1

O enunciado dá a sequência an = l(2 + tfrac1nr)^1/2. O conteúdo aqui é limite de sequência e uso de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar das propriedades de limite de soma e da continuidade da raiz quadrada.

Passo 2

Como n to infty, temos tfrac1n to 0. Esse é um limite básico: limntoinfty tfrac1n = 0.
Pela propriedade do limite de soma, limntoinftyl(2 + tfrac1nr) = 2 + limntoinftytfrac1n = 2 + 0 = 2

Passo 3

A função f(x)=raizx é contínua em [0,infty). Logo, podemos colocar o limite dentro da raiz: limntoinftyan = limntoinftyraiz2 + tfrac1n = raizlimntoinftyl(2 + tfrac1nr) = raiz2

Passo 4

O limite existe e é finito, portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = raiz2.

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