1. Expresse as funções abaixo reduzindo as potencias de seno e cosseno sempre que possível:
    \operatorname{sen}^{2}(x) \operatorname{tg}^{2}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para escrevemos
\sin^{2}(x)\,\tan^{2}(2x)
reduzindo todas as potências de \sin e \cos. Vamos usar três grupos de identidades trigonométricas:
  1. \tan^{2}u=\frac{\sin^{2}u}{\cos^{2}u}.
  2. As fórmulas do ângulo duplo \sin(2x)=2\sin x\cos x.
  3. As fórmulas de redução de potência
\sin^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}, \quad \cos^{2}u=\frac{1+\cos(2u)}{2}.

Passo 2

Aplicando \tan^{2}(2x)=\dfrac{\sin^{2}(2x)}{\cos^{2}(2x)}, temos
\sin^{2}(x)\,\tan^{2}(2x) = \sin^{2}(x)\,\frac{\sin^{2}(2x)}{\cos^{2}(2x)}.

Passo 3

Usando \sin(2x)=2\sin x\cos x, obtemos
\sin^{2}(2x)=4\,\sin^{2}(x)\cos^{2}(x).
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\sin^{2}(x)\,\tan^{2}(2x) = \sin^{2}(x)\,\frac{4\,\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(2x)} = \frac{4\,\sin^{4}(x)\,\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(2x)}.

Passo 4

Agora reduzimos as potências de \sin e \cos:
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}, \quad \cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}, \quad \cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Substituindo em
\displaystyle \frac{4\,\sin^{4}(x)\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(2x)}, vem
\frac{4\;\bigl(\tfrac{1-\cos(2x)}{2}\bigr)^{2}\;\bigl(\tfrac{1+\cos(2x)}{2}\bigr)} {\tfrac{1+\cos(4x)}{2}}.

Passo 5

Simplificando fatores numéricos e cancelando o “ /\!2”, obtemos
\frac{(1-\cos(2x))^{2}\,(1+\cos(2x))}{1+\cos(4x)}.

Resposta

\sin^{2}(x)\,\tan^{2}(2x) = \frac{(1-\cos(2x))^{2}\,\bigl(1+\cos(2x)\bigr)}{1+\cos(4x)}.

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