1. Expresse as funções abaixo reduzindo as potencias de seno e cosseno sempre que possível:
    \cos ^{3}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para escrever \cos^3(2x) em forma de somas de cossenos, ou seja, reduzir a potência usando fórmulas trigonométricas de redução de potência e ângulo triplo.

Passo 2

Primeiro, lembramos a identidade
\cos^3\theta = \cos\theta\;\cos^2\theta
e usamos
\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2},
logo
\cos^3\theta = \cos\theta\;\frac{1+\cos(2\theta)}{2} = \frac{1}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\cos\theta\,\cos(2\theta).
Em seguida, aplicamos o produto-em-soma
\cos A\,\cos B = \frac{1}{2}\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr]
com A=\theta e B=2\theta:
\cos\theta\,\cos(2\theta) = \frac{1}{2}\bigl[\cos(3\theta)+\cos(-\theta)\bigr] = \frac{1}{2}\cos(3\theta) + \frac{1}{2}\cos\theta.
Substituindo de volta em \cos^3\theta:
\cos^3\theta = \frac{1}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{2}\cos(3\theta)+\tfrac{1}{2}\cos\theta\Bigr) = \frac{3}{4}\cos\theta + \frac{1}{4}\cos(3\theta).

Passo 3

Basta agora colocar \theta = 2x. Assim,
\cos^3(2x) = \frac{3}{4}\cos(2x) + \frac{1}{4}\cos(6x).

Resposta

\cos^3(2x) = \frac{3\cos(2x) + \cos(6x)}{4}.

Exercícios relacionados