1. Usando um triângulo retângulo de hipotenusa 1 e lado x, mostre que
\operatorname{sen}^{-1}(x)+\cos ^{-1}(x)=\frac{\pi}{2} .

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, em um triângulo retângulo de hipotenusa 1 e um dos catetos medindo x, vale
\operatorname{sen}^{-1}(x)+\cos^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}.
O conteúdo envolve definições de arco-seno e arco-cosseno e propriedades de soma de ângulos num triângulo.

Passo 2

Construa um triângulo retângulo em que a hipotenusa vale 1 e o cateto oposto a um ângulo \alpha vale x. Pela definição de arco-seno,
\sin(\alpha)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{1}=x \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\operatorname{sen}^{-1}(x).
Pelo teorema de Pitágoras, o outro cateto mede \sqrt{1-x^2}.

Passo 3

Chame de \beta o outro ângulo agudo do triângulo. Nesse mesmo triângulo, o cateto adjacente a \beta tem comprimento x e a hipotenusa vale 1, logo
\cos(\beta)=\frac{x}{1}=x \quad\Longrightarrow\quad \beta=\cos^{-1}(x).

Passo 4

Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é \pi. Aqui temos os ângulos \alpha, \beta e o ângulo reto \pi/2, portanto
\alpha+\beta+\frac{\pi}{2}=\pi \quad\Longrightarrow\quad \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{sen}^{-1}(x)+\cos^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}.

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