1. Expresse as funções abaixo reduzindo as potencias de seno e cosseno sempre que possível:
    \operatorname{sen}^{4}(x / 4)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever \sin^{4}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) usando as fórmulas de redução de potência de seno e de cosseno (identidades de ângulo duplo).

Passo 2

Escrevemos
\sin^{4}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) =\bigl[\sin^{2}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)\bigr]^{2}
e aplicamos
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},
com \theta=\tfrac{x}{4}, obtendo
\sin^{2}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) =\frac{1-\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{2}.

Passo 3

Elevando ao quadrado:
\sin^{4}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) =\left(\frac{1-\cos(\tfrac{x}{2})}{2}\right)^{2} =\frac{1}{4}\bigl[1-2\cos(\tfrac{x}{2})+\cos^{2}(\tfrac{x}{2})\bigr].

Passo 4

Para \cos^{2}(\tfrac{x}{2}) usamos
\cos^{2}\varphi=\frac{1+\cos(2\varphi)}{2},
com \varphi=\tfrac{x}{2}, logo
\cos^{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\frac{1+\cos(x)}{2}.

Passo 5

Substituindo em \sin^{4}(x/4) e simplificando:
\sin^{4}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) =\frac{1}{4}\Bigl[1-2\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\tfrac{1+\cos(x)}{2}\Bigr] =\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\frac{1}{8}\cos(x).

Resposta

\sin^{4}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr) =\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\frac{1}{8}\cos(x).

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