Expresse as funções racionais como frações parciais
\frac{1}{(x-3)(x-2)}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\frac{1}{(x-3)(x-2)}
como soma de frações mais simples. O conteúdo é decomposição em frações parciais, onde o denominador já está fatorado em termos lineares distintos.

Passo 2

Suponhamos que exista uma identidade da forma
\frac{1}{(x-3)(x-2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-2},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-3)(x-2), obtendo
1 = A(x-2) + B(x-3).

Passo 4

Para achar A e B de modo rápido, basta escolher valores de x que anulem um termo de cada vez:
- Se x=3, a equação vira
1 = A(3-2) + B\cdot0 \quad\Longrightarrow\quad A = 1.
- Se x=2, a equação vira
1 = A\cdot0 + B(2-3) \quad\Longrightarrow\quad B = -1.

Passo 5

Substituindo A=1 e B=-1 na suposição inicial, concluímos que
\frac{1}{(x-3)(x-2)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}.

Resposta

\frac{1}{(x-3)(x-2)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}.

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