Expresse as funções racionais como frações parciais
\frac{3 x^{2}}{x^{2}+1} (Primeiro dividir)

Passo 1

Temos a função racional
f(x)=\frac{3x^{2}}{x^{2}+1}.
Note que o grau do numerador é igual ao grau do denominador, portanto f é imprópria e podemos usar a divisão de polinômios para escrevê-la como soma de um polinômio e uma fração própria.

Passo 2

Dividindo 3x^{2} por x^{2}+1: o quociente é 3 pois
3\,(x^{2}+1)=3x^{2}+3,
e a diferença entre 3x^{2} e 3x^{2}+3 é -3. Logo
\frac{3x^{2}}{x^{2}+1} =3+\frac{-3}{x^{2}+1} =3-\frac{3}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora a parte \displaystyle -\frac{3}{x^{2}+1} já é uma fração própria. Como x^{2}+1 é irredutível sobre os reais, sua forma geral de fração parcial seria
\frac{Ax+B}{x^{2}+1}.
Comparando
-\frac{3}{x^{2}+1}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}
vemos que A=0 e B=-3.

Resposta

\frac{3x^{2}}{x^{2}+1} =3-\frac{3}{x^{2}+1}.

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