Resolver d y / d t=1-y^{2} por separação \int d y /\left(1-y^{2}\right)=\int d t Então
\frac{1}{1-y^{2}}=\frac{1}{(1-y)(1+y)}=\frac{A}{1-y}+\frac{B}{1+y}
Integração da \frac{1}{2} \ln \ldots .=t+C. Com y(0)=0 a constante C é … Encontre y(t)=\ldots .. Esta é a curva S

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO por separação de variáveis:
\frac{d y}{d t}=1-y^{2}
e usar a condição inicial y(0)=0. Vamos separar variáveis, integrar e depois aplicar y(0)=0 para achar a constante de integração.

Passo 2

Escrevemos
\frac{1}{1-y^{2}}=\frac{A}{1-y}+\frac{B}{1+y}.
Multiplicando por (1-y)(1+y) obtemos
1=A(1+y)+B(1-y)=A+B+(A-B)y.
Comparando coeficientes: A+B=1 e A-B=0 A=B=\tfrac12.

Passo 3

A integral fica
\int\frac{dy}{1-y^{2}} =\int\Bigl(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\Bigr)dy =\frac12\int\frac{dy}{1-y}+\frac12\int\frac{dy}{1+y}.
Calculando cada parte:
\int\frac{dy}{1-y}=-\ln\lvert1-y\rvert, \quad \int\frac{dy}{1+y}=\ln\lvert1+y\rvert.
Portanto
\frac12\bigl(-\ln\lvert1-y\rvert+\ln\lvert1+y\rvert\bigr)=t+C \quad\Longrightarrow\quad \frac12\ln\frac{1+y}{1-y}=t+C.

Passo 4

Usando y(0)=0 na expressão
\frac12\ln\frac{1+0}{1-0}=C
vem \tfrac12\ln1=0, logo C=0. Assim
\frac12\ln\frac{1+y}{1-y}=t.

Passo 5

Multiplicando por 2 e exponenciando:
\ln\frac{1+y}{1-y}=2t \quad\Longrightarrow\quad \frac{1+y}{1-y}=e^{2t}.
Isolando y:
1+y=e^{2t}(1-y) \;\Longrightarrow\; y\,(1+e^{2t})=e^{2t}-1 \;\Longrightarrow\; y(t)=\frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1},
que é justamente
y(t)=\operatorname{tanh}(t).

Resposta

y(t)=\operatorname{tanh}(t)

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