Por substituição mude as integrais a integrais racionais
\int \frac{d x}{1+\sqrt{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede para transformar a integral
\int \frac{dx}{1+\sqrt{x-1}}
numa integral racional, usando mudança de variável. O conteúdo principal aqui é integração por substituição e decomposição em frações parciais de uma função racional.

Passo 2

Escolhemos a substituição que elimina a raiz no denominador. Seja
t = \sqrt{x - 1}.
Então temos
x - 1 = t^2,\quad x = t^2 + 1,
e diferenciando,
dx = 2t\,dt.

Passo 3

Substituindo em \int \frac{dx}{1+\sqrt{x-1}} obtemos
\int \frac{dx}{1+t} = \int \frac{2t\,dt}{1+t}.

Passo 4

Agora decompondo a função racional 2t/(1+t):
\frac{2t}{1+t} = 2 - \frac{2}{1+t}.
Assim a integral fica
\int \Bigl(2 - \frac{2}{1+t}\Bigr) dt = 2\int dt - 2\int \frac{dt}{1+t} = 2t - 2\ln\bigl|1+t\bigr| + C.

Passo 5

Retornando à variável original, t = \sqrt{x-1}, concluímos que uma antiderivada de \frac1{1+\sqrt{x-1}} é
2\sqrt{x-1} - 2\ln\!\bigl(1+\sqrt{x-1}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{dx}{1+\sqrt{x-1}} = 2\sqrt{x-1} \;-\; 2\ln\bigl(1+\sqrt{x-1}\bigr) + C.

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