Por substituição mude as integrais a integrais racionais \int \frac{d x}{1+\sqrt{x-1}}
Passo 1
O enunciado pede para transformar a integral
\int \frac{dx}{1+\sqrt{x-1}}
numa integral racional, usando mudança de variável. O conteúdo principal aqui é integração por substituição e decomposição em frações parciais de uma função racional.
Passo 2
Escolhemos a substituição que elimina a raiz no denominador. Seja
t = \sqrt{x - 1}.
Então temos
x - 1 = t^2,\quad x = t^2 + 1,
e diferenciando,
dx = 2t\,dt.
Passo 3
Substituindo em \int \frac{dx}{1+\sqrt{x-1}} obtemos