Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função impar.
(b) f(x)=x+1x-1

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=dfracx+1x-1
como soma de uma função par g(x) e uma função ímpar h(x).
Para isso usamos a decomposição canônica:
g(x)=f(x)+f(-x)2, h(x)=f(x)-f(-x)2

Passo 2

Calculamos primeiro f(-x).
f(-x)=-x+1-x-1 =-(x-1)-(x+1) =x-1x+1

Passo 3

Agora a parte par é
g(x)=f(x)+f(-x)2 =12l(x+1x-1+x-1x+1r)
Colocando mesmo denominador x^2-1 no numerador:
(x+1)^2+(x-1)^2=2x^2+2,
logo
g(x)=2x^2+22(x^2-1) =x^2+1x^2-1

Passo 4

A parte ímpar é
h(x)=f(x)-f(-x)2 =12l(x+1x-1-x-1x+1r)
Combinando em x^2-1:
(x+1)^2-(x-1)^2=4x,
logo
h(x)=4x2(x^2-1) =2xx^2-1

Resposta

f(x)=g(x)+h(x) =x^2+1x^2-1+2xx^2-1

Exercícios relacionados