Mostre que as funções abaixo são bijetivas e determine a sua função inversa.
(b) f:[-infty, -12] [-254,+infty], f(x)=x^2-x-6

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f:(-infty,-tfrac12];longrightarrow;[-tfrac254,+infty), f(x)=x^2-x-6
é bijetiva e para obter f^-1.
O conteúdo envolvido é:
  1. Mostrar injetividade usando monotonicidade (derivada).
  2. Mostrar sobrejetividade verificando extremos e comportamento em -infty.
  3. Encontrar a inversa resolvendo y=x^2-x-6 em x.
Observação: calculando f(-tfrac12)=tfrac14+tfrac12-6=-tfrac214, a imagem real de f é [-tfrac214,infty). Vou então trabalhar com
f:(-infty,-tfrac12]to[-tfrac214,infty)

Passo 2

(Injetividade) Calculemos a derivada
f'(x)=2x-1
Em todo x<= -tfrac12 temos 2x-1<=2cdot(-tfrac12)-1=-2<0. Logo f é estritamente decrescente no domínio, o que implica injetividade.

Passo 3

(Sobrejetividade) Como f é contínua e decrescente em (-infty,-tfrac12], temos
limxto-inftyf(x)=+infty, fl(-tfrac12r)=-tfrac214
Portanto a imagem de f é exatamente [-tfrac214,infty), o que mostra que f é sobrejetiva sobre esse conjunto. Concluímos que f é bijetiva de (-infty,-tfrac12] em [-tfrac214,infty).

Passo 4

(Cálculo de f^-1) Para achar a inversa, partimos de
y = x^2-x-6 Long<=ftrightarrow x^2-x-(6+y)=0
As raízes dessa equação são
x = 1pmraiz1+4(6+y)2 = 1pmraiz4y+252
Como queremos x<= -tfrac12, escolhemos o sinal “ -” na raiz. Assim
f^-1(y)=1-raiz4y+252, yinl[-tfrac214,inftyr)

Resposta

f é bijetiva em (-infty,-tfrac12]to[-tfrac214,infty) e f^-1(y)=1-raiz4y+252 é

Exercícios relacionados