Mostre que as funções abaixo são bijetivas e determine a sua função inversa.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é bijetiva e para obter
.
O conteúdo envolvido é:
O conteúdo envolvido é:
- Mostrar injetividade usando monotonicidade (derivada).
- Mostrar sobrejetividade verificando extremos e comportamento em
. - Encontrar a inversa resolvendo
em .
Observação: calculando
, a imagem real de
é
. Vou então trabalhar com
Passo 2
(Injetividade) Calculemos a derivada
Em todo
temos
. Logo
é estritamente decrescente no domínio, o que implica injetividade.
Passo 3
(Sobrejetividade) Como
é contínua e decrescente em
, temos
Portanto a imagem de
é exatamente
, o que mostra que
é sobrejetiva sobre esse conjunto. Concluímos que
é bijetiva de
em
.
Passo 4
(Cálculo de
) Para achar a inversa, partimos de
As raízes dessa equação são
Como queremos
, escolhemos o sinal “
” na raiz. Assim