Q 57 Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por s(t)=t^2-2 t, em que s(t) é medida em metros e t em segundos.
(a) Determine a velocidade média entres os instantes t=2 e t=5;
(b) Determine a velocidade da partícula nos instantes: t=0, t=4 e em t=w qualquer;
(c) Em quais instantes a velocidade é nula?

Passo 1

O enunciado diz que a posição de uma partícula é dada por s(t)=t^2-2t, com s em metros e t em segundos. Vamos usar dois conceitos principais:
  1. Velocidade média num intervalo [t1,t2], definida por
vmédia=s(t2)-s(t1)t2-t1é
  1. Velocidade instantânea, que é a derivada v(t)=s'(t).
    Com isso, resolveremos (a) o cálculo da velocidade média entre t=2 e t=5, (b) obteremos v(t) e avaliaremos em t=0, t=4 e t=w, e (c) encontraremos os instantes em que v(t)=0.

Passo 2

Para a velocidade média entre t=2 e t=5 aplicamos
vmédia=s(5)-s(2)5-2é

Passo 3

Calculando s(5) e s(2):
s(5)=5^2-2cdot5=25-10=15,
s(2)=2^2-2cdot2=4-4=0
Logo,
vmédia=15-03=5 m/s é

Passo 4

Para a velocidade instantânea derivamos s(t):
v(t)=s'(t)=ddt(t^2-2t)=2t-2

Passo 5

Agora avaliamos v(t) nos instantes pedidos:
v(0)=2cdot0-2=-2 m/s,
v(4)=2cdot4-2=8-2=6 m/s,
v(w)=2w-2 m/s

Passo 6

Para achar quando a velocidade é nula, resolvemos
v(t)=2t-2=0
2t=2
t=1 s

Resposta

(a) 5 m/s
(b) v(0)=-2 m/s, v(4)=6 m/s, v(w)=2w-2 m/s
(c) t=1 s

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