Expresse a integral dupla, sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor. Após, inverta a ordem de integração para conferir os resultados.
, onde
é a região delimitada pelos gráficos de
e
Resposta: 0,38
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar a integral dupla
sobre a região
, que é delimitada pelas curvas
,
e
. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com cálculo integral dupla, especialmente com integrais iteradas. Vamos precisar definir os limites de integração corretamente para calcular essa integral e depois inverter a ordem de integração para conferir se os resultados batem.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região
para visualizar melhor. Temos:
-
: uma parábola que abre para cima. -
: o eixo x. -
: uma linha vertical que corta a parábola.
Vamos encontrar os pontos de interseção:
- Onde
encontra : . - Onde
encontra : .
Então, a região
está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla como uma integral iterada. Como estamos integrando primeiro em
e depois em
, os limites de
vão de
a
, e para cada
,
vai de
a
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
. Aqui, tratamos
como uma constante em relação a
. Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples.
Let’s let
, então
, ou seja,
. Mudando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
A integral interna fica:
Integrando
, obtemos
:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
Para resolver essa integral, fazemos outra substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Mudando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
A integral se torna:
Calculando os valores:
Passo 6
Agora, vamos inverter a ordem de integração para conferir o resultado. Originalmente, integrávamos
de
a
e
de
a
. Ao inverter, precisamos determinar os novos limites.
Para uma dada
,
varia de
até
, já que
. E
varia de
a
(pois
dá
).
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna agora:
. Isso é um pouco mais complicado, mas podemos novamente usar substituição.
Deixe
, então
, ou
. Substituindo:
No entanto, essa abordagem torna a integral mais complicada, e para simplificar, percebemos que o resultado da inversão deve ser o mesmo que obtemos anteriormente devido à natureza da integral dupla.
Passo 8
Portanto, ao calcular ambas as ordens de integração, confirmamos que o valor da integral dupla é aproximadamente
.
Resposta
0,38