Expresse a integral dupla, sobre a região R indicada, como uma integral iterada e ache seu valor.
integral duplaR(y+2 x) d A a região retangular de vértices (-1,-1),(2,-1),(2,4) e (-1,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR (y + 2x) , dA sobre uma região retangular R com vértices em (-1,-1), (2,-1), (2,4) e (-1,4).
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades acumuladas em uma região bidimensional.
O que vamos precisar:
  1. Entender como configurar a integral dupla como uma integral iterada.
  2. Determinar os limites de integração com base na região R.
  3. Integrar passo a passo para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. Os vértices estão nos pontos (-1,-1), (2,-1), (2,4) e (-1,4), formando um retângulo no plano xy.
Configuração da integral dupla:
Para transformar a integral dupla em uma iterada, precisamos definir os limites de x e y. Observando os vértices:
  • x varia de -1 a 2.
  • Para cada x, y varia de -1 a 4.
Então, a integral iterada fica:
integralx=-1^2 integraly=-1^4 (y + 2x) , dy , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar a função y + 2x em relação a y primeiro, mantendo x como constante.
Integral interna:
integraly=-1^4 (y + 2x) , dy
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral y , dy = 12 y^2
  2. integral 2x , dy = 2x y
Então, a antiderivada é:
12 y^2 + 2x y
Agora, avaliamos isso de y = -1 a y = 4:
( 12 (4)^2 + 2x (4) ) - ( 12 (-1)^2 + 2x (-1) )
Calculando cada parte:
( 12 times 16 + 8x ) - ( 12 times 1 - 2x ) = ( 8 + 8x ) - ( 12 - 2x )
Simplificando:
8 + 8x - 12 + 2x = 152 + 10x

Passo 4

Agora, temos a integral em relação a x:
integralx=-1^2 ( 152 + 10x ) , dx
Vamos integrar termo a termo novamente:
  1. integral 152 , dx = 152 x
  2. integral 10x , dx = 5x^2
Então, a antiderivada é:
152 x + 5x^2
Agora, avaliamos de x = -1 a x = 2:
( 152 times 2 + 5 times (2)^2 ) - ( 152 times (-1) + 5 times (-1)^2 )
Calculando cada parte:
( 15 + 20 ) - ( -152 + 5 ) = 35 - ( -52 ) = 35 + 52 = 752

Resposta

O valor da integral dupla é 752.

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