Expresse a integral dupla, sobre a região R indicada, como uma integral iterada e ache seu valor.
a região retangular de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre uma região retangular
com vértices em
,
,
e
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades acumuladas em uma região bidimensional.
O que vamos precisar:
- Entender como configurar a integral dupla como uma integral iterada.
- Determinar os limites de integração com base na região
. - Integrar passo a passo para encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Os vértices estão nos pontos
,
,
e
, formando um retângulo no plano
.
Configuração da integral dupla:
Para transformar a integral dupla em uma iterada, precisamos definir os limites de e
. Observando os vértices:
Para transformar a integral dupla em uma iterada, precisamos definir os limites de
-
varia de a . - Para cada
, varia de a .
Então, a integral iterada fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
em relação a
primeiro, mantendo
como constante.
Integral interna:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Agora, avaliamos isso de
a
:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos a integral em relação a
:
Vamos integrar termo a termo novamente:
Então, a antiderivada é:
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando cada parte:
Resposta
O valor da integral dupla é
.