Expresse a integral integral duplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
y=4-x^2-4 z^2, y=0

Passo 1

O enunciado pede para expressar a integral tripla integral duplaEf(x,y,z),dV como seis integrais iteradas diferentes, onde
– a região E é definida por 0<= y<= 4 - x^2 -4z^2 e x^2 +4z^2<=4.
Vamos usar projeções adequadas sobre os planos coordenados para cada ordem de integração.

Passo 2

Usando a ordem dy, dx, dz (y interno, x médio, z externo), projetamos em z: zin[-1,1] pois 4-4z^2>=0. Para cada z, , e então xin[-raiz4-4z^2,raiz4-4z^2].
yin[0,4 - x^2 -4z^2]

Passo 3

Usando a ordem dy, dz, dx (y interno, z médio, x externo), projetamos em x: xin[-2,2]. Para cada x, zin[-tfracraiz4-x^22,tfracraiz4-x^22], e yin[0,4 - x^2 -4z^2].
integralx=-2^2integralz=-tfracraiz4-x^22^tfracraiz4-x^22integraly=0^4 - x^2 -4z^2f(x,y,z),dy,dz,dx

Passo 4

Usando a ordem dx, dy, dz (x interno, y médio, z externo), projetamos em z: zin[-1,1]. Para cada z, yin[0,4-4z^2], e para cada (y,z), .
xin[-raiz4-4z^2 - y,raiz4-4z^2 - y]

Passo 5

Usando a ordem dx, dz, dy (x interno, z médio, y externo), projetamos em y: yin[0,4]. Para cada y, zin[-tfracraiz4-y2,tfracraiz4-y2], e para cada (y,z), .
xin[-raiz4 - y -4z^2,raiz4 - y -4z^2]

Passo 6

Usando a ordem dz, dx, dy (z interno, x médio, y externo), projetamos em y: yin[0,4]. Para cada y, , e para cada (y,x), xin[-raiz4-y,raiz4-y].
zin[-tfracraiz4 - x^2 - y2,tfracraiz4 - x^2 - y2]

Passo 7

Usando a ordem dz, dy, dx (z interno, y médio, x externo), projetamos em x: xin[-2,2]. Para cada x, yin[0,4-x^2], e para cada (x,y), zin[-tfracraiz4 - x^2 - y2,tfracraiz4 - x^2 - y2].
integralx=-2^2integraly=0^4 - x^2integralz=-tfracraiz4 - x^2 - y2^tfracraiz4 - x^2 - y2f(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

As seis expressões de integrais iteradas estão listadas nos passos anteriores, cada uma correspondendo a uma das seis ordens possíveis de integração.

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