Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a integral tripla
como seis integrais iteradas diferentes, onde
– a região é definida por
e
.
Vamos usar projeções adequadas sobre os planos coordenados para cada ordem de integração.
– a região
Vamos usar projeções adequadas sobre os planos coordenados para cada ordem de integração.
Passo 2
Usando a ordem dy, dx, dz (y interno, x médio, z externo), projetamos em z:
pois
. Para cada z, , e então
.
Passo 3
Usando a ordem dy, dz, dx (y interno, z médio, x externo), projetamos em x:
. Para cada x,
, e
.
Passo 4
Usando a ordem dx, dy, dz (x interno, y médio, z externo), projetamos em z:
. Para cada z,
, e para cada (y,z), .
Passo 5
Usando a ordem dx, dz, dy (x interno, z médio, y externo), projetamos em y:
. Para cada y,
, e para cada (y,z), .
Passo 6
Usando a ordem dz, dx, dy (z interno, x médio, y externo), projetamos em y:
. Para cada y, , e para cada (y,x),
.
Passo 7
Usando a ordem dz, dy, dx (z interno, y médio, x externo), projetamos em x:
. Para cada x,
, e para cada (x,y),
.
Resposta
As seis expressões de integrais iteradas estão listadas nos passos anteriores, cada uma correspondendo a uma das seis ordens possíveis de integração.