Inverta a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral
\
e isso envolve reconhecer a região
no plano
, projetá-la no eixo
e depois expressar
em função de
.
Passo 2
Vamos identificar as curvas que delimitam
:
- curva inferior:
(uma parábola com zeros em e e vértice em ), - curva superior:
(definida só para ).
As interseções satisfazem
Passo 3
Fazemos
, definimos
, então
e
Passo 4
As soluções são
(logo
) e
(logo
). Isso dá os pontos de interseção em
e
.
Passo 5
Agora projetamos
no eixo
. Observando que
atinge mínimo
em
e máximo de
em
é
, concluímos que
Passo 6
Para cada valor fixo de
vamos achar o intervalo de
usando as condições
Passo 7
Dividimos em dois casos:
Caso 1: . Aqui
faz com que
seja sempre verdade (pois
). Então só resta
Caso 1:
Passo 8
Caso 2:
. Agora ambas as desigualdades valem ativamente:
- de
vem , mas , e está em , - de
(com ) vem .
Combinando e lembrando que o máximo do intervalo é(menor que 3 para ), obtemos
Passo 9
Pronto! Com esses intervalos, a integral invertida quebra em duas partes (uma para cada caso de
).