Inverta a ordem de integração:

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral
\ integral0^3l[integralx^2-2x^raiz3xf(x,y),dyr]dx e isso envolve reconhecer a região R no plano (x,y), projetá-la no eixo y e depois expressar x em função de y.

Passo 2

Vamos identificar as curvas que delimitam R:
  • curva inferior: y1=x^2-2x (uma parábola com zeros em x=0 e x=2 e vértice em (1,-1)),
  • curva superior: y2=raiz3x (definida só para x>=0).
    As interseções satisfazem
x^2-2x=raiz3x

Passo 3

Fazemos x>=0, definimos raizx=u, então x=u^2 e
u^4-2u^2-raiz3,u=0implies u(u^3-2u-raiz3)=0

Passo 4

As soluções são u=0 (logo x=0) e u=raiz3 (logo x=3). Isso dá os pontos de interseção em y=0 e y=3.

Passo 5

Agora projetamos R no eixo y. Observando que y1(x) atinge mínimo -1 em x=1 e máximo de y2(x) em x=3 é 3, concluímos que
yin[-1,3]

Passo 6

Para cada valor fixo de y vamos achar o intervalo de x usando as condições
x^2-2x<= ye y<=raiz3x

Passo 7

Dividimos em dois casos:
Caso 1: yin[-1,0]. Aqui y<=0 faz com que y<=raiz3x seja sempre verdade (pois raiz3x>=0). Então só resta
x^2-2x<= yimplies xinl[1-raiz1+y,,1+raiz1+yr]

Passo 8

Caso 2: yin[0,3]. Agora ambas as desigualdades valem ativamente:
  • de x^2-2x<= y vem xin[1-raiz1+y,,1+raiz1+y], mas 1-raiz1+y<=0, e x está em [0,3],
  • de y<=raiz3x (com y>=0) vem x>= y^2/3.
    Combinando e lembrando que o máximo do intervalo é 1+raiz1+y (menor que 3 para y<=3), obtemos
xinl[y^2/3,,1+raiz1+yr]

Passo 9

Pronto! Com esses intervalos, a integral invertida quebra em duas partes (uma para cada caso de y).

Resposta

integral-1^0!integral1-raiz1+y^,1+raiz1+yf(x,y),dx,dy ;+; integral0^3!integraly^2/3^,1+raiz1+yf(x,y),dx,dy

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