Use integração dupla para calcular o volume do sólido.
A cunha seccionada do cilindro 4 x^2+y^2=9 pelos planos z=0 e z=y+3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
4x^2 + y^2 = 9
e pelos planos z=0 (base) e z = y + 3 (topo).
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla, usando
V = integral duplaD l(ztopo - zbaser),dA
onde D é a projeção do sólido no plano xy.

Passo 2

Identificamos a região D no plano xy como a região elíptica
D = (x,y)mid 4x^2 + y^2 <= 9
Nessa região, o “recheio” vertical vai de z=0 até z=y+3.

Passo 3

Montamos a integral de volume:
V = integral duplaD(y + 3),dA

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
V = integral duplaDy,dA ;+; 3integral duplaD1,dA
Pela simetria de D em relação ao eixo x, temos
integral duplaDy,dA = 0

Passo 5

Fica então
V = 3 integral duplaD1,dA = 3;l(área de Dr) á
Como D é a elipse com semi-eixos a=3/2 (eixo x) e b=3 (eixo y), sua área é
Area(D) = pi,a,b = picdot32cdot3 = 9pi2

Passo 6

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V = 3 times 9pi2 = 27pi2

Resposta

V = 27pi2

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