Encontre uma fórmula para f^(n)(x).
f(x)=cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função f(x)=cos2x. Para isso vamos usar a derivação de funções trigonométricas e a regra da cadeia, lembrando que derivar cos u -sin u e que sempre multiplicamos pela derivada interna u'(x).

Passo 2

Calculamos as primeiras derivadas para ver o padrão:
f(x)=cos2x
f'(x)=-sin2xcdot(2)=-2sin2x
f''(x)=-2cos2xcdot(2)=-4cos2x
f^(3)(x)=-4(-sin2x)cdot(2)=8sin2x
f^(4)(x)=8cos2xcdot(2)=16cos2x

Passo 3

Observamos dois efeitos a cada derivação:
  1. Multiplicação por 2 (regra da cadeia), acumulando um fator 2^n.
  2. Ciclo de funções trigonométricas e sinais que se repete a cada 4 derivadas:
    costo -sinto -costo sintocos.

Passo 4

Para agrupar o sinal e a troca entre cos e sin num único padrão, usamos o deslocamento de fase de pi/2. Isso dá a fórmula geral
f^(n)(x)=2^ncosl(2x+npi2r)

Resposta

f^(n)(x)=2^ncosl(2x+npi2r)

Exercícios relacionados