Encontre uma fórmula para
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
. Para isso vamos usar a derivação de funções trigonométricas e a regra da cadeia, lembrando que derivar
dá
e que sempre multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 2
Calculamos as primeiras derivadas para ver o padrão:
Passo 3
Observamos dois efeitos a cada derivação:
- Multiplicação por
(regra da cadeia), acumulando um fator . - Ciclo de funções trigonométricas e sinais que se repete a cada 4 derivadas:
.
Passo 4
Para agrupar o sinal e a troca entre
e
num único padrão, usamos o deslocamento de fase de
. Isso dá a fórmula geral